Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss
Rođenje	30. travnja 1777. Braunschweig, Njemačka
Smrt	23. veljače 1855. Göttingen, Njemačka
Državljanstvo	Nijemac
Polje	Matematika, fizika
Institucija	Sveučilište u Göttingenu
Alma mater	Sveučilište u Helmstedtu
Akademski mentor	Johann Friedrich Pfaff
Poznat po	Gaussova raspodjela, Gaussov zakon električnoga polja Gaussov zakon magnetskoga polja Gaussov algoritam Gaussov sustav jedinica Gaussova krivulja Jednadžba optičke leće
Istaknute nagrade	Copleyeva medalja (1838.)

Disquisitiones Arithmeticae (1801.)

Crvena krivulja prestavlja standardiziranu normalnu raspodjelu.

Johann Carl Friedrich Gauß, lat. Carolus Fridericus Gauss, (Braunschweig, 30. travnja 1777. - Göttingen , 23. veljače 1855.), njemački matematičar i astronom. Svestrani matematički genij i jedan od najvećih matematičara uopće. Izvanrednu je matematičku darovitost pokazao već u djetinjstvu, a prve znanstvene rezultate postigao kao student matematike u Göttingenu. U vezi s teorijom dijeljenja kruga riješio je 1796. problem konstrukcije pravilnih poligona ravnalom i šestarom. Dokazao je da se za neki prosti broj n može na taj način konstruirati pravilni n-trokut onda i samo onda kada je n takozvani Fermatov broj, to jest broj oblika 2k + 1, a kao takvi su danas poznati samo 3, 5, 17, 257 i 65 537. Promoviran je 1799. na temelju doktorske disertacije, u kojoj je dokazao izvanredno značajan, takozvani fundamentalni teorem algebre. Djelom Istraživanja u aritmetici (lat. Disquisitiones arithmeticae, 1801.) postavio je osnove suvremenoj teoriji brojeva. Njegova Opća istraživanja zakrivljenih ploha (lat. Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828.) nova su etapa u razvoju diferencijalne geometrije i osnova njezina napretka sve do danas. U tome djelu on uvodi sistematsku upotrebu parametarskoga predočenja ploha, dvije osnovne kvadratne forme, sferno preslikavanje i na osnovi toga pojam zakrivljenosti u točki plohe. Dokazan je i osnovni teorem o invarijantnosti zakrivljenosti plohe pri njezinu izometričkom preslikavanju (lat. Theorema egregium). Značajan je i njegov prilog teoriji pogrešaka pri mjerenju, izložen kao teorija najmanjih kvadrata u djelu Teorija kombiniranja uz najmanje pogreške opažanja (lat. Theoria combinationis observantium erroribus minimis obnoxiae, I–III, 1821. – 1826.), prema kojoj je najpogodnija vrijednost mjerene veličine ona za koju je zbroj kvadrata pogrešaka najmanji. Otkrića nastala prilikom proučavanja Zemljinoga magnetskoga polja izložio je u djelu Opća teorija magnetizma Zemlje (njem. Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus, 1839.). Primjenjivao je matematiku na opisivanje električnih i magnetskih pojava (na primjer Gaussov zakon za magnetsko polje i Gaussov zakon za električno polje). Bavio se optikom (Gaussova aproksimacija). Osobito su značajna njegova istraživanja u području osnova geometrije, premda o tome nije ništa objavio. Još i prije N. I. Lobačevskoga i Jánosa Bolyaia spoznao je logičku mogućnost geometrije različite od euklidove geometrije i otkrio u njoj niz osnovnih činjenica. Posmrtno objavljena njegova znanstvena ostavština potaknula je zanimanje za neeuklidsku geometriju i pridonijela njezinu bržemu razvoju. Po njem su nazvani krater na Mjesecu (Gauss (krater)) i planetoid (1001 Gaussia).

Životopis

U mlađim razredima osnovne škole počela se otkrivati njegova nadarenost. Naime, Gaussov učitelj je zadao cijelom razredu zadatak da nađu zbroj brojeva od 1 do 100 (1+2+3...). No, Gauss je našao puno brži način. Shvatio je da parovi brojeva (1+100=101, 2+99=101...) daju 101 te je taj broj pomnožio s 50 jer je to broj parova. Pokazao se kao darovit u jezikoslovlju. Proučavao je antičke jezike u gimnaziji Martino-Katharineum, no sa 17 godina Grof od Brunswick-Wolfenbüttela mu daje stipendiju, te se ulaskom u koledž Carolinum zainteresirao za matematiku i samostalno otkrio Bodeov zakon proporcija, pridonio binarnom teoremu, aritmetičkom, geometrijskom prosjeku, zakonu kvadratne recipročnosti te teoremu prim brojeva. S tim otkrićima odustao je od jezika i okrenuo se matematici.

Matematika

Studirao je na Götingenskom sveučilištu od 1795. do 1798., gdje mu je učitelj bio Kästner kojeg je često ismijavao; a doktorirao je 1799., dokazavši da svaka algebarska jednadžba ima najmanje jedno rješenje. Taj je teorem nazvan temeljni teorem algebre. Tu je pokušao konstruirati pravilni sedmerokut pomoću ravnala i šestara. Ne samo da je došao do zaključka da je to nemoguće, već je otkrio metode konstrukcije pravilnog 17, 257, 65537 – kuta. Tako je dokazao da je konstrukcija pravilnog mnogokuta, ravnalom i šestarom, moguća samo kada su stranice prim brojevi serije $2^{2^{n}}+1$ (Fermatovi prosti brojevi), tj. brojevi 3, 5, 17, 257, 65537 i tako dalje; to je opisao u knjizi o teoriji brojeva, Disqvisitiones Arithmeticae (Pitanja o aritmetici, 1801.), koje je klasično djelo na polju matematike.

Gaussova raspodjela

Podrobniji članak o temi: Normalna raspodjela

Normalna raspodjela, Gaussova raspodjela ili Gauss-Laplaceova raspodjela je najvažnija statistička teoretska raspodjela (distribucija). Prvi ju je objasnio Abraham de Moivre (1753.) kao granični oblik binomne raspodjele. Normalna je raspodjela neprekinuta (kontinuirana) funkcija vjerojatnosti oblika:

$f(x\;|\;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Ona je dvoparametarska funkcija. Parametri su joj aritmetička sredina μ i standardna devijacija σ. Standardizirana normalna distribucija ima aritmetičku sredinu $\mu =0$ i standardnu devijaciju $\sigma =1$, a bilježi se kao $N(0,1)$. Normalna krivulja (to jest graf normalne distribucije) zvonolika je oblika i simetrična, pa su svi neparni momenti oko sredine distribucije jednaki 0. Aritmetička sredina, medijan i mod normalne distribucije međusobno su jednaki, što je posljedica svojstva simetričnosti distribucije. Koeficijenti asimetrije jednaki su 0, a koeficijent zaobljenosti je 3.

Gaussova krivulja

Podrobniji članak o temi: Gaussova krivulja

Gaussova krivulja je krivulja određena jednadžbom:

$y=e^{-x^{2}}$

simetrična je s obzirom na y-os, asimptotski se približava x-osi, kada x teži prema + ∞ i – ∞. Ta se krivulja, zbog njezine primjene u računu vjerojatnosti, naziva i krivulja vjerojatnosti.

Gaussov algoritam

Podrobniji članak o temi: Gaussov algoritam

Gaussov algoritam je niz matematičkih operacija, koje je predložio Gauss za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Način na koji se poništavaju (eliminiraju) pojedine nepoznanice u jednadžbama poznat je i pod imenom Gaussove eliminacije (ponegdje znano kao Gauss-Jordanova metoda eliminacije).

Astronomija

Gauss se nakon toga posvetio astronomiji te je po njegovim izračunima 1801. otkriven planetoid Ceres. Također je osmislio novu metodu izračunavanja putanja ili orbita nebeskih tijela. Godine 1807., nakon smrti Grofa od Brunswika, postao je matematički profesor i direktor opservatorija u Göttingenu, gdje je ostao sve do svoje smrti 1855. Nakon niza obiteljskih tragedija, 1809. izdaje svoju drugu knjigu u dva dijela Theoria motus corporum celestium in sectionibus concis Solem ambientum, o gibanju nebeskih tijela. U prvom dijelu raspravlja o diferencijalnim jednadžbama, dijelovima stošca i eliptičnim orbitama, dok u drugom, glavnom dijelu pokazuje kako naći i izračunati orbitu planeta. Gaussov doprinos teorijskoj astronomiji prestaje nakon 1817., iako nastavlja s promatranjima. U opservatoriju provodi većinu vremena, ali svejedno radi na drugim područjima znanosti. Njegova djela iz tog perioda su: Disquisitiones generales circa seriem infinitam, uvod u hipergeometrijsku funkciju; Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, praktični esej o integralnom računu; Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen, rasprava o statističkim procjenama te Theoria attractions corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova teactata, inspirirana geometrijskim problemima.

Geodezija

Gauss se tijekom 1820-ih sve više interesirao za geodeziju. Godine 1818. provodio je geodetska istraživanja za državu Hannover, o spajanju s danskom željezničkom mrežom, te je izumio heliotrop (sprava za signalizaciju na daljinu), koji je radio na načelu reflektiranja sunčevih zraka pomoću teleskopa i ogledala. Od 1820. do 1830. izdao je više od 70 članaka. Godine 1822. osvojio je nagradu Kopenhagenskog sveučilišta s djelom Theoria attractions corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova teactata. Gauss je prvi razvio neeuklidsku geometriju, diskutirajući s Farkasom Bolyaiom, Janosom Bolyaiom i Lobačevskijem. Proučavao je diferencijalnu geometriju, te je o toj temi napisao djelo Disquisitiones generales circa superfices curva, (1828.), njegovo najvažnije djelo na tom području, koje sadrži ideje kao Gaussova krivulja (normalan graf vjerojatnosti) i teorem egregrium.

Fizika

S njemačkim fizičarom Wilhelmom Eduardom Weberom, Gauss je proveo opširno istraživanje o magnetizmu, a primjenjivanje matematike na magnetizam i elektricitet je jedan od njegovih važnijih doprinosa. U čast njemu jedinica intenziteta magnetskog polja dobila je naziv gauss. O toj je temi napisao mnoga djela kao: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832.), Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (1839.) i Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs - und Abstossungskräfte (1840.). Gauss i Weber su otkrili Kirchhoffove zakone, konstruirali primitivni telegraf te stvorili vlastite novine Magnetischer Verein. Među njegovim zadnjim djelima je rasprava s Gerlingom o Foucaultovom njihalu (1854.). Doživio je otvorenje hanoverske željezničke mreže, te je preminuo 23. veljače 1855., u Göttingenu. U trenutku smrti rijetko koje polje matematike, astronomije i matematičke fizike nije ostalo taknuto od Gaussa.

Gaussov zakon električnoga polja

Podrobniji članak o temi: Gaussov zakon

Gaussov zakon električnoga polja je fizikalni zakon prema kojemu su silnice električnoga polja otvorene krivulje što izlaze iz pozitivnih električnih naboja, a završavaju u negativnim električnim nabojima, odnosno tok električnoga polja kroz zamišljenu zatvorenu plohu jednak je zbroju svih električnih naboja koji se nalaze unutar te plohe podijeljenome s dielektričnom permitivnošću vakuuma. U integralnom obliku zakon glasi:

$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

gdje je: Φ_E - tok električnog polja, Q - električni naboj, ε₀ - dielektrična konstanta vakuuma. Tok se nadalje može povezati s električnim poljem:

$\Phi _{E}=\int _{s}E\cdot dA$

gdje je: E - vektor električnog polja, a dA - element površine plohe S po kojoj se integrira. Tok električnoga polja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu koja ne sadrži električni naboj jednak je nuli, to jest električni naboj izvor je električnoga polja.

Gaussov zakon magnetskoga polja

Podrobniji članak o temi: Gaussov zakon magnetskoga polja

Gaussov zakon magnetskoga polja je fizikalni zakon prema kojemu su silnice magnetskoga polja zatvorene linije, odnosno magnetski tok (tok vektora magnetske indukcije) kroz zamišljenu zatvorenu plohu jednak je nuli:

$\iint \mathbf {B} \cdot dS=0$

gdje je: B - magnetski tok, a S - površina zatvorene plohe. Tim je zakonom potvrđeno da u prirodi ne postoje magnetski monopoli.

Gaussov sustav jedinica

Podrobniji članak o temi: CGS sustav

Gaussov sustav jedinica je sustav mjernih jedinica koji je na temelju prijedloga Gaussa i W. Webera prihvaćen na 1. međunarodnom elektrotehničkom kongresu u Parizu 1881. i smatran jedinstvenim sustavom jedinica sveukupne znanosti. Osnovne su mu jedinice bile centimetar, gram i sekunda, po čemu je nazvan CGS-sustavom. Zbog krivih tumačenja zamisli njegovih osnivača, u primjeni je toga sustava bilo mnogo teškoća, osobito u području elektromagnetizma. Električne su se veličine izražavale jedinicama CGSe-sustava (elektrostatski sustav jedinica), a magnetske jedinicama CGSm-sustava (elektromagnetski sustav jedinica). Za takav mješoviti, nekoherentni sustav predložio je Hermann von Helmholtz 1882. naziv Gaussov sustav jedinica. Uz druge sustave primjenjivao se sedamdesetak godina, osobito u fizici. Sva su tri sustava danas zamijenjena Međunarodnim sustavom mjernih jedinica (SI).

Vanjske poveznice

{

	U Wikimedijinu spremniku nalazi se članak na temu: Carl Friedrich Gauß
	U Wikimedijinu spremniku nalazi se još gradiva na temu: Carl Friedrich Gauß