Banach-Tarskijev paradoks
Banach-Tarskijev paradoks teorem je iz teorije skupova geometrije u kojem se navodi sljedeće: Za čvrstu loptu iz trodimenzionalnog prostora postoji razložba te lopte u konačan broj zasebnih podskupova koji se onda mogu ponovno sastaviti na drugačiji način da daju dvije jednake kopije originalne lopte. Doista, proces montaže uključuje samo kretanje figura i njihovo okretanje, bez promjene njihova oblika. Međutim, ovi komadi nisu sami po sebi "čvrsta tijela", već beskonačno raspršene točke. Rekonstrukcija se može izvesti i sa samo 5 komada.[1]
Jači oblik teorema implicira da se bilo koja dva "razumna" tvrda predmeta (na primjer, mala lopta i velika lopta), mogu sklopiti jedan u drugi. To se često neformalno spominje kao izraz "grašak se može izreckati i složiti u sunce" i zove se "paradoks graška i sunca".
Razlog zašto se teorem Banach-Tarskoga zove paradoks je u tome što se suprotstavlja osnovnoj geometrijskoj intuiciji. "Udvostručenje lopte", dijeljenje nje na dijelove i pomicanje tih dijelova rotacijom i translacijom, bez ikakvih istezanja, savijanja ili dodavanja novih točaka čini se nemogućim, jer sve te operacije trebaju, intuitivno gledano, zadržati volumen. Intuicija da te operacije čuvaju zadani volumen nije matematički apsurdna i čak je uključena u formalnu definiciju volumena. Međutim, to nije primjenjivo ovdje, jer zbog njihove velike poroznosti nije moguće odrediti volumen podskupova u pitanju. Njihovo ponovno sklapanje reproducira obujam koji je različit od početnog.
Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovog rezultata ovisi o krucijalnom odabiru aksioma za teoriju skupova. To može biti dokazano aksiomom izbora koji omogućava izgradnju nemjerljivih skupova, odnosno skupova točaka koje nemaju volumen u uobičajenom smislu te čija izgradnja zahtijeva bezbroj opcija.[2]
Prikazano je 2005. da postoji način kojim se dijelovi nastali razlaganjem mogu pomicati i slagati bez sudaranja.
Poučak Banach-Tarskog jedan je od čudnih posljedica aksioma izbora. Sastavljen je 1924. godine. Neka je k ma kako mala, a K ma kako velika kugla. Tada postoje particije:[3]
Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle k=k_{1}\cup ...\cup k_{n}} i Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K=K_{1}\cup ...\cup K_{n}}
pri čemu vrijedi da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_1} kongruentno Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_i} odnosno postoji bijekcija koja čuva udaljenost) za sve Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i= 1,...n} .
Napomene[uredi]
- ↑ Tao, Terence (2011).
- ↑ Wagon, Corollary 13.3
- ↑ Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu Mladen Vuković: Neki osnovni pojmovi teorije skupova, 2004. str. 6 (pristupljeno 20. studenoga 2019.)