Banach-Tarskijev paradoks

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite Wikipediji navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

Može li se lopta rastaviti u konačan broj točaka skupa i ponovo sastaviti se u dvije lopte identične originalu?

Banach-Tarskijev paradoks teorem je iz teorije skupova geometrije u kojem se navodi sljedeće: Za čvrstu loptu iz trodimenzionalnog prostora postoji razložba te lopte u konačan broj zasebnih podskupova koji se onda mogu ponovno sastaviti na drugačiji način da daju dvije jednake kopije originalne lopte. Doista, proces montaže uključuje samo kretanje figura i njihovo okretanje, bez promjene njihova oblika. Međutim, ovi komadi nisu sami po sebi  "čvrsta tijela", već beskonačno raspršene točke. Rekonstrukcija se može izvesti i sa samo 5 komada.

Jači oblik teorema implicira da se bilo koja dva "razumna" tvrda predmeta (na primjer, mala lopta i velika lopta), mogu sklopiti jedan u drugi. To se često neformalno spominje kao izraz "grašak se može izreckati i složiti u sunce" i zove se "paradoks graška i sunca".

Razlog zašto se teorem Banach-Tarskoga zove paradoks je u tome što se suprotstavlja osnovnoj geometrijskoj intuiciji. "Udvostručenje lopte", dijeljenje nje na dijelove i pomicanje tih dijelova rotacijom i translacijom, bez ikakvih istezanja, savijanja ili  dodavanja novih točaka čini se nemogućim, jer sve te operacije trebaju, intuitivno gledano, zadržati volumen. Intuicija da te operacije čuvaju zadani volumen nije matematički apsurdna i čak je uključena u formalnu definiciju volumena. Međutim, to nije primjenjivo ovdje, jer zbog njihove velike poroznosti nije moguće odrediti volumen podskupova u pitanju. Njihovo ponovno sklapanje reproducira obujam koji je različit od početnog.

Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovog rezultata ovisi o krucijalnom odabiru aksioma za teoriju skupova. To može biti dokazano aksiomom izbora koji omogućava izgradnju nemjerljivih skupova, odnosno skupova točaka koje nemaju volumen u uobičajenom smislu te čija izgradnja zahtijeva bezbroj opcija.

Prikazano je 2005. da postoji način kojim se dijelovi nastali razlaganjem mogu pomicati i slagati bez sudaranja.

Poučak Banach-Tarskog jedan je od čudnih posljedica aksioma izbora. Sastavljen je 1924. godine. Neka je k ma kako mala, a K ma kako velika kugla. Tada postoje particije:

[math]\displaystyle{ k = k_1 \cup ... \cup k_n }[/math] i [math]\displaystyle{ K = K_1 \cup... \cup K_n }[/math]

pri čemu vrijedi da je [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] kongruentno [math]\displaystyle{ K_i }[/math] odnosno postoji bijekcija koja čuva udaljenost) za sve [math]\displaystyle{ i= 1,...n }[/math].