Asocijativni bialgebroid

U matematici, ako je $L$ asocijativna algebra nad nekim polje k, tada je lijevi asocijativni $L$-bialgebroid druga asocijativna k-algebra $H$ zajedno sa slijedećim preslikanjima: homomorfizam algebri $\alpha :L\to H$ kojeg nazivamo preslikavanjem izvora, homomorfizam algebri $\beta :L^{\mathrm {op} }\to H$ kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od $\alpha$ i $\beta$ komutiraju u $H$, inducirajući dakle strukturu $L$-bimodula na $H$ određenog pravilom $a.h.b=\alpha (a)\beta (b)h$ za sve $a,b\in L,h\in H$; nadalje morfizam $L$-bimodula $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$, za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje $H$ na objektu $H$ u monoidalnoj kategoriju $L$-bimodula s monoidalnim produktom $\otimes _{L}$. Nadalje, za pripadna kojedinicu $\epsilon :H\to L$ tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja $H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto \epsilon (h\alpha (l))\in L$ lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) $L\otimes L\to L$ duž $\alpha \otimes \mathrm {id} _{L}$). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem $\Delta$ i množenjima algebre $H$ i njenog tenzorskog kvadrata $H\otimes H$. Ako je algebra $L$ nekomutativna, tenzorski produkt $H\otimes _{L}H$ nad Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta:H\to H\otimes_L H} morfizam k-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\otimes_L H} ima k-potprostor Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} koji sadržava sliku preslikavanja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\otimes H} uzduž projekcije na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\otimes_L H} . Zahtijevamo, nadalje, da je kosuženje (korestrikcija) Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta|^T :H\to T} homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , naime Takeuchijev umnožak Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\times_L H\subset H\otimes_L H} , koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\otimes H} . Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} sadržana u Takeuchijevom umnošku i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times_L} -algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977.

Pojam asocijativnog bialgebroida je poopćenje pojma k-bialgebre gdje je komutativni bazni prsten zamijenjen nekomutativnom k-algebrom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} . Hopfov algebroid nad Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} je uređeni par asocijativnog bialgebroida s totalnom algebrom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} i antiendomorfizma algebre Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} koji zadovoljava neke dodatne uvjete (za razliku od slučaja asocijativnih bialgebroida gdje su osnovnee varijante definicije u literaturi zapravo ekvivalentne, u literaturi se promatra više sličnih ali bitno neekvivalentnih varijanti pojma Hopfovog algebroida).

Naziv bialgebroid je uvela J-H. Lu. Često izostavljamo pomen asocijativnosti u nazivu, čija glavna funkcija je razlikovanje od Liejevih bialgebroida, koje također često zovemo naprosto bialgebroidima. Asocijativni bialgebroidi se pojavljuju u dvije kiralne verzije, lijevoj i desnoj. Dualan je pojam bikoalgebroida.

References

1. PREUSMJERI Predložak:Izvori

Vanjske poveznice

• nLab, Associative bialgebroid, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
• Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, Lie algebra type noncommutative phase spaces are Hopf algebroids, Lett. Math. Phys. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188