Möbiusova traka

Möbiusova traka (ili vrpca) je površina koja nastaje od pravokutne trake tako što se jedna stranica zarotira za 180 stupnjeva i zalijepi sa suprotnom stranicom. Ona ima samo jednu stranu i jednu graničnu komponentu. Također, predstavlja osnovni primjer neorijentabilne površine. Neovisno jedan od drugog otkrili su je njemački matematičari August Ferdinand Möbius i Johan Benedikt Listing 1858. godine.

Möbiusova traka nije površina jedinstvene veličine i oblika, kao što je traka prikazana na slici. Naime, matematičari smatraju Möbiusovom trakom bilo koju površinu koja je homeomorfna s njom. Njena granica je jednostavna zatvorena kriva, odnosno homeomorfna je kružnici. To omogućava razne geometrijske verzije Möbiusove trake, gdje svaka ima određenu veličinu i oblik.

Poluokret u smjeru kazaljke na satu daje drugačiji tip Möbiusove trake u odnosu na poluokret u suprotnom smjeru. To znači da je, kao objekt u euklidskom prostoru, Möbiusova traka kiralni objekt pozitivne ili negativne orijentacije. Postoji beskonačno mnogo topološki različitih utapanja istog topološkog prostora u trodimenzionalni prostor, što znači da se i Möbiusova traka može formirati na više načina, na primjer uvrtanjem trake neparan broj puta ili vezivanjem trake u čvor i uvrtanjem (prije spajanja krajeva).

Izvrnuti papirni model Möbiusove trake je površina Gausove krivine nula. Sistem diferencijalno-algebarskih jednadžbi koji opisuje modele ovog tipa objavljen je 2007. godine zajedno sa rješenjem.

Eulerova karakteristika Möbiusove trake je nula.

Svojstva

Möbiusova traka ima nekoliko zanimljivih svojstava. Kao primjer se često navodi mrav koji hoda duž nje. Nakon jednog obilaska naći će se sa suprotne strane svoje početne točke, a nakon dva, u svojoj početnoj točki.

Rezanjem Möbiusove trake po sredini dobiva se jedna duža traka sa dva puna obrta, a ne dvije odvojene trake, kao što bi se očekivalo. Dobivena traka nije Möbiusova.

Sa druge strane, ako se Möbiusova traka reže ne po sredini, već na razdaljini od jedne trećine svoje širine do ruba, rezultat sječenja će biti dvije trake: kraća, koja jest Möbiusova, i duža, koja sadrži dva puna obrta (i koja nije Möbiusova i koja bi se inače dobila rezanjem početne trake na dva dijela).

Uopćeno, prepolavljanjem trake koja ima 2n-1 poluobrta, dobiva se traka sa 2n punih obrta. Presijecanjem trake koja ima 2n poluobrta, dobivaju se dvije iste takve trake, međusobno uvijene n puta. Na primjer, za n = 2, nakon rezanja će jedna traka biti 2 puta obmotana oko druge. Za n = 1 dobit će se dvije karike lanca.

Dodavanjem još obrta i spajanjem krajeva dobivaju se figure koje se nazivaju paradromski prsteni.

Rezanje Möbiusove trake po trećini širine

Orijentabilnost

Površina je orijentabilna ukoliko za proizvoljnu jednostavnu zatvorenu krivu na toj površini i bilo koju točku na toj krivoj važi sljedeće: normalni vektor u toj točki neprekidnim kretanjem duž krive se vraća u svoj početni položaj bez promjene smjera.

Möbiusova traka nije orijentabilna, što je ilustrirano animacijom desno.

Neorijentabilnost Möbiusove trake se može dokazati i ako se ona predstavi poliedarski (slika dolje desno). Tada je tabela povezanosti tjemena, rub i pljosni ovog modela:

T = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\};

I = \{03, 32, 21, 10, 24, 45, 53, 40, 15\};

p_0 = \langle 0, 3, 2, 1\rangle,\ p_1 = \langle 3, 2, 4, 5\rangle,\ p_2 = \langle 4, 0, 1, 5\rangle;

gdje T predstavlja skup tjemena, I skup rubova, a p_k su pljosni.

Poliedarski prikaz Möbiusove trake sa 3 pljosni

Poliedarska površina je orijentabilna ako se može uskladiti orijentacija susjednih pljosni, odnosno, kada svake dve susjedne pljosni induciraju suprotnu orijentaciju zajedničkog ruba.

Svaki pokušaj usklađivanja orijentacije pljosni Möbiusove trake biva neuspješan. Na primjer:

Promatrajući najjednostavniji poliedarski model Möbiusove trake (slika desno), vidi se da su sve tri pljosni susjedne. To znači da orijentacija svake pljosni mora da biti usklađena sa ostale dvije. Ako se uskladi orijentacija p_1 sa p_0, dobiva se: p_1 = <5, 4, 2, 3>. Tada je p_2 sa p_1 usklađeno, ali p_2 sa p_0 nije. Ako promijenimo orijentaciju p_0, onda ona više neće biti usklađena sa p_1. Na ovaj način je dokazano da se orijentacije pljosni Möbiusove trake ne mogu uskladiti, pa ona nije orijentabilna.

Eulerova karakteristika

Formula za izračunavanje Eulerove karakteristike poliedarske površine je sljedeća:

\chi=T-I+P,

gdje je T broj tjemena, I broj rubova, a P broj pljosni.

Poliedarski model Möbiusove trake predstavljen na slici desno ima 6 tjemena, 9 rubova i 3 pljosni. Dakle, Eulerova karakteristika iznosi 0.

Geometrija i Topologija

Jedan način za predstavljanje Möbiusove trake kao podskupa R3 je putem parametrizacije:

x(u,v)= \left(1+\frac{v}{2} \cos \frac{u}{2}\right)\cos u

y(u,v)= \left(1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2}\right)\sin u

z(u,v)= \frac{v}{2}\sin \frac{u}{2} ,

gdje je \, 0 \leq u < 2\pi\, i \, -1 \leq v \leq 1\,. Ovo daje Möbiusovu traku širine 1, čija središnja kružnica ima poluprečnik 1, leži u Oxy ravni i centar joj je u koordinatnom početku. Parametar u kreće se duž trake, dok v ide od jednog ruba do drugog. U cilindričnim koordinatama Möbiusova traka može se predstaviti pomoću jednadžbe:

Da bi se napravila Möbiusova traka od kvadrata, spojiti stranice tako da se strelice poklope

\log(r)\sin\left(\frac{1}{2}\theta\right)=z\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right).

Topologija

Topološki, Möbiusova traka se može definirati kao kvadrat[0,1] \times [0,1] s identifikacijom (x,0) ~ (1-x,1) za 0 \leq x \leq 1, kao što je predstavljeno na slici desno. Möbiusova traka je na ovaj način predstavljena kao površina sa povezanom granicom. Neorijentabilna je i uzima se kao savršen primjer topološke osobine neorijentabilnosti iz sljedećih razloga:

Ne postoje neorijentabilne mnogostrukosti dimenzije manje od dva.
Möbiusova traka je površina koja predstavlja topološki potprostor svake neorijentabilne površine, iz čega slijedi da je dana površina neorijentabilna ako i samo ako sadrži Möbiusovu traku kao svoj potprostor.

Računarska grafika

Möbiusova traka se često koristi u računarskoj grafici ili softverskim paketima za modeliranje.

Na primjer, u Autodesk|3D Studio Max softveru, Möbiusovu traku dobivamo iscrtavanjem kvadrata (plane) i primjenom twist i bend modifikatora za po 180º i 360º.

Slični objekti

Pravljenje Klajnove boce od dvije Möbiusove trake

Möbiusova traka je veoma usko povezana sa Klajnovom bocom. Klajnova boca se može napraviti spajanjem dve Möbiusove trake po njihovim granicama. Međutim, ovo se u trodimenzionalnom euklidskom prostoru ne može postići bez samopresjeka.

Još jedan sličan objekt je realna projektivna ravan koja se dobiva lijepljenjem Möbiusove trake i diska po njihovim rubovima. Realna projektivna ravan također ne može biti realizirana u trodimenzionalnom prostoru bez samopresjeka.

U teoriji grafova, Möbiusove ljestve su 3-regularan graf sa 2n čvorova. Ovakvi grafovi nose ovo ime jer u sebi (osim u slučaju kada je broj čvorova šest, tj. n=3) sadrže točno n ciklusa dužine 4 čijim se spajanjem po zajedničkim rubovima dobiva Möbiusova traka.

Primjena

Möbiusova traka, zbog svojih osobina, nalazi brojne primjene u raznim područjima.

Koristi se u fizici i elektrotehnici.

U tvornicama se koristi kao pokretna traka. Na taj način je svaki dio trake opterećen istom težinom, te je ona dugotrajnija. Ista ideja se primjenjivala i u industriji kaseta (kako bi se udvostručilo vrijeme trajanja snimka). Također se koristi u industriji printera i pisaćih mašina.

Möbiusov otpornik je element elektronskog kola, koji ima svojstvo poništavanja vlastite induktivne reaktante. Nikola Tesla je početkom dvadesetog stoljeća patentirao sličnu tehnologiju, koju je namjeravao koristiti u svom sistemu za globalni bežični prijenos elektriciteta.

Inspiracija je za veliki broj umjetničkih djela. Nalazi se ispred ulaza u Muzej američke povijesti u Washingtonu.

Nalazila se na brazilskoj poštanskoj markici 1967. godine, a na belgijskoj 1969. godine.

Möbiusova traka je usvojena kao međunarodni znak za reciklažu. Također se koristi kao simbol Google Drive-a.

Literatura

T. Šukilović, S. Vukmirović (2015). Geometrija ѕa informatičare. Matematički fakultet, Beograd. str. 117-119. ISBN 978-86-7589-106-2

Vanjske poveznice

Izvori