Interval (matematika)

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite Wikipediji navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

U matematici intervalom nazivamo skup (najčešće) realnih brojeva, koji se nalaze između dva poznata broja, ta dva broja se nazivaju granice intervala. Npr. interval [math]\displaystyle{ \langle 5, 8 \rangle }[/math] (rjeđe i [math]\displaystyle{ (5, 8) }[/math]) opisuje skup realnih brojeva između 5 i 8, bez tih brojeva. Dok pak interval [math]\displaystyle{ [5, 8] }[/math] označava skup realnih brojeva između 5 i 8, uključujući 5 i 8. U apstraktnoj matematici interval je definiran kao podskup S nekog linearno uređenoga skupa T, za koji vrijedi, bilo koje x, y ∈ S a x < z < y, te z ∈ S.

Naravno, interval može pripadati samo jednom ili uniji više skupova brojeva.

Vrste intervala

Intervali realnih brojeva mogu imati jedan od sljedećih oblika (a, b su realni brojevi, gdje a < b):

1. (a,b) = { x | a < x < b }
2. [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b }
3. [a,b) = { x | a ≤ x < b }
4. (a,b] = { x | a < x ≤ b }
5. (a,∞) = { x | a < x }
6. [a,∞) = { x | a ≤ x }
7. (−∞,b) = { x | x < b }
8. (−∞,b) = { x | x ≤ b }
9. (−∞,∞) = R, cijeli skup realnih brojeva
10. {a} u slučaju [a,a]
11. Prazan skup u slučaju (a,a), npr. kada je lijeva granica intervala veća nego desna.

Intervali 1., 5., 7., 9. i 11. se zovu otvoreni intervali, intervali 2., 6., 8., 9., 10. i 11. su zatvoreni intervali (koji se također ponekad nazivaju segmenti). Intervali 3. i 4. se nekada nazivaju poluotvoreni ili poluzatvoreni ili s lijeva/s desna otvoreni/zatvoreni.

Aritmetika intervala

Matematiku intervala je predstavio M. Warmus 1956. godine. Ta aritmetika daje definiciju operacijama nad intervalima tako da

A ⊕ B = { x | (∃y ∈ A) (∃z ∈ B) x = y ⊕ z }

Za osnovne računske operacije to znači:

[math]\displaystyle{ (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) }[/math]

[math]\displaystyle{ (a,b) - (c,d) = (a-d, b-c) }[/math]

[math]\displaystyle{ (a,b) \cdot (c,d) = (\min \{ac, ad, bc, bd\}, \max \{ac, ad, bc, bd\}) }[/math]

[math]\displaystyle{ (a,b) : (c,d) = (\min \{a:c, a:d, b:c, b:d\}, \max \{a:c, a:d, b:c, b:d\}) }[/math]

Dijeljenje intervalom koji sadrži nulu nije definirano. Zbrajanje i množenje su komutativne, asocijativne i poddistributivne operacije (skup X(Y + Z) je podskup od XY + XZ).