Asocijativni bialgebroid: razlika između inačica

Posljednja izmjena od 30. siječanj 2026. u 10:20

U matematici, ako je $L$ asocijativna algebra nad nekim poljem k, tada je lijevi asocijativni Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} -bialgebroid druga asocijativna k-algebra $H$ zajedno sa slijedećim preslikanjima:^[1] homomorfizam algebri Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha:L\to H} kojeg nazivamo preslikavanjem izvora, homomorfizam algebri $\beta :L^{\mathrm {op} }\to H$ kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} komutiraju u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} , inducirajući dakle strukturu $L$ -bimodula na $H$ određenog pravilom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a.h.b = \alpha(a)\beta(b) h} za sve Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b\in L, h\in H} ; nadalje morfizam Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} -bimodula $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$ , za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje $H$ na objektu $H$ u monoidalnoj kategoriju $L$ -bimodula s monoidalnim produktom $\otimes _{L}$ . Nadalje, za pripadna kojedinicu $\epsilon :H\to L$ tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja $H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto \epsilon (h\alpha (l))\in L$ lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) $L\otimes L\to L$ duž $\alpha \otimes \mathrm {id} _{L}$ ). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem $\Delta$ i množenjima algebre $H$ i njenog tenzorskog kvadrata $H\otimes H$ . Ako je algebra $L$ nekomutativna, tenzorski produkt $H\otimes _{L}H$ nad $L$ nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je $\Delta :H\to H\otimes _{L}H$ morfizam k-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da $H\otimes _{L}H$ ima k-potprostor $T$ koji sadržava sliku preslikavanja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na $H\otimes H$ uzduž projekcije na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\otimes_L H} . Zahtijevamo, nadalje, da je kosuženje (korestrikcija) Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta|^T :H\to T} homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , naime Takeuchijev umnožak Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\times_L H\subset H\otimes_L H} ,^[2] koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\otimes H} . Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} sadržana u Takeuchijevom umnošku i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times_L} -algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977^[3].

Pojam asocijativnog bialgebroida je poopćenje pojma k-bialgebre gdje je komutativni bazni prsten zamijenjen nekomutativnom k-algebrom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} . Hopfov algebroid nad Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} je uređeni par asocijativnog bialgebroida s totalnom algebrom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} i antiendomorfizma algebre Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} koji zadovoljava neke dodatne uvjete (za razliku od slučaja asocijativnih bialgebroida gdje su osnovnee varijante definicije u literaturi zapravo ekvivalentne, u literaturi se promatra više sličnih ali bitno neekvivalentnih varijanti pojma Hopfovog algebroida).

Naziv bialgebroid je uvela J-H. Lu.^[4] Često izostavljamo pomen asocijativnosti u nazivu, čija glavna funkcija je razlikovanje od Liejevih bialgebroida, koje također često zovemo naprosto bialgebroidima. Asocijativni bialgebroidi se pojavljuju u dvije kiralne verzije, lijevoj i desnoj. Dualan je pojam bikoalgebroida^[5].

Izvori i bilješke

↑ Böhm, Gabriella (2008), "Hopf Algebroids", Handbook of algebra, arXiv:0805.3806
↑ Brzezinski, Tomasz; Militaru, Gigel (2000), Bialgebroids, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times_A} -bialgebras and duality, arXiv:math.QA/0012164
↑ M. Takeuchi, Groups of algebras over Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \times \bar{A}} , J. Math. Soc. Japan 29, 459–492, 1977
↑ Lu, Jiang-HUA (1996), "Hopf Algebroids and Quantum Groupoids", International Journal of Mathematics 07: 47–70, arXiv:q-alg/9505024, doi:10.1142/S0129167X96000050, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037
↑ Imre Bálint, Scalar extension of bicoalgebroids, Appl. Categor. Struct. 16, 29–55 (2008)

Vanjske poveznice

nLab, Associative bialgebroid, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, Lie algebra type noncommutative phase spaces are Hopf algebroids, Lett. Math. Phys. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188

[1] Böhm, Gabriella (2008), "Hopf Algebroids", Handbook of algebra, arXiv:0805.3806

[2] Brzezinski, Tomasz; Militaru, Gigel (2000), Bialgebroids, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times_A} -bialgebras and duality, arXiv:math.QA/0012164

[3] M. Takeuchi, Groups of algebras over Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \times \bar{A}} , J. Math. Soc. Japan 29, 459–492, 1977

[4] Lu, Jiang-HUA (1996), "Hopf Algebroids and Quantum Groupoids", International Journal of Mathematics 07: 47–70, arXiv:q-alg/9505024, doi:10.1142/S0129167X96000050, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037

[5] Imre Bálint, Scalar extension of bicoalgebroids, Appl. Categor. Struct. 16, 29–55 (2008)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
+U [[matematika|matematici]], ako je <math>L</math> [[asocijativna algebra|asocijativna algebra]] nad nekim [[polje (matematika)|poljem]] ''k'', tada je lijevi '''asocijativni <math>L</math>-bialgebroid'''
-U [[matematika|matematici]], ako je <math>L</math> [[asocijativna algebra|asocijativna algebra]] nad nekim [[poljem|polje]] ''k'', tada je lijevi '''asocijativni <math>L</math>-bialgebroid'''
 druga asocijativna ''k''-algebra <math>H</math> zajedno sa slijedećim preslikanjima:<ref>{{citation|arxiv=0805.3806|last1=Böhm |first1=Gabriella |journal= Handbook of algebra|title=Hopf Algebroids |year=2008 }}</ref>
-homomorfizam algebri <math>\alpha:L\to H</math> kojeg nazivamo preslikavanjem izvora,
+[[homomorfizam]] algebri <math>\alpha:L\to H</math> kojeg nazivamo preslikavanjem izvora,
-homomorfizam algebri <math>\beta:L^{\mathrm{op}}\to H</math> kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> komutiraju u <math>H</math>, inducirajući dakle strukturu <math>L</math>-bimodula na <math>H</math> određenog pravilom <math>a.h.b = \alpha(a)\beta(b) h</math> za sve <math>a,b\in L, h\in H</math>; nadalje morfizam <math>L</math>-bimodula <math>\Delta:H\to H\otimes_L H</math>, za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje <math>H</math> na objektu <math>H</math> u monoidalnoj kategoriju <math>L</math>-bimodula s monoidalnim produktom <math>\otimes_L</math>. Nadalje, za pripadna kojedinicu <math>\epsilon:H\to L</math> tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja <math>H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto \epsilon(h\alpha(l))\in L</math> lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) <math>L\otimes L\to L</math> duž <math>\alpha\otimes\mathrm{id}_L</math>). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem <math>\Delta</math> i množenjima algebre <math>H</math> i njenog tenzorskog kvadrata <math>H\otimes H</math>. Ako je algebra <math>L</math> nekomutativna, tenzorski produkt <math>H\otimes_L H</math> nad <math>L</math> nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je <math>\Delta:H\to H\otimes_L H</math> morfizam ''k''-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da <math>H\otimes_L H</math> ima ''k''-potprostor <math>T</math> koji sadržava sliku preslikavanja <math>\Delta</math> i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na <math>H\otimes H</math> uzduž projekcije na <math>H\otimes_L H</math>. Zahtijevamo, nadalje, da je kosuženje (korestrikcija) <math>\Delta|^T :H\to T</math> homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor <math>T</math>, tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za <math>T</math>, naime Takeuchijev umnožak <math>H\times_L H\subset H\otimes_L H</math>,<ref>{{citation|arxiv=math.QA/0012164 |last1=Brzezinski |first1=Tomasz |last2=Militaru |first2=Gigel |title=Bialgebroids, <math>\times_A</math>-bialgebras and duality |year=2000 }}</ref> koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s <math>H\otimes H</math>. Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od <math>\Delta</math> sadržana u Takeuchijevom umnošku i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu <math>\times_L</math>-algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977<ref>M. Takeuchi, Groups of algebras over <math>A \times \bar{A}</math>, J. Math. Soc. Japan 29, 459–492, 1977</ref>.
+homomorfizam algebri <math>\beta:L^{\mathrm{op}}\to H</math> kojeg nazivamo preslikavenjem ponora, koji su takvi da slike od <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> komutiraju u <math>H</math>, inducirajući dakle strukturu <math>L</math>-bimodula na <math>H</math> određenog pravilom <math>a.h.b = \alpha(a)\beta(b) h</math> za sve <math>a,b\in L, h\in H</math>; nadalje morfizam <math>L</math>-bimodula <math>\Delta:H\to H\otimes_L H</math>, za kojeg zahtijevamo da je kounitalno i koasocijativno komnoženje <math>H</math> na objektu <math>H</math> u monoidalnoj kategoriju <math>L</math>-bimodula s monoidalnim produktom <math>\otimes_L</math>. Nadalje, za pripadna kojedinicu <math>\epsilon:H\to L</math> tog komnoženja zahtijevamo da je lijevi kokarakter (u drugom jeziku, to znači da je preslikavanja <math>H\otimes L\ni h\otimes l\mapsto \epsilon(h\alpha(l))\in L</math> lijevo unitalno djelovanje koje proširuje množenje (gledano kao lijevo regularno djelovanje) <math>L\otimes L\to L</math> duž <math>\alpha\otimes\mathrm{id}_L</math>). Nadalje, tražimo usuglašenost među komnoženjem <math>\Delta</math> i množenjima algebre <math>H</math> i njenog tenzorskog kvadrata <math>H\otimes H</math>. Ako je algebra <math>L</math> nekomutativna, tenzorski produkt <math>H\otimes_L H</math> nad <math>L</math> nije algebra, dakle traženje uvjete tipa da je <math>\Delta:H\to H\otimes_L H</math> morfizam ''k''-algebri, kako se to radi kod bialgebri, nema smisla. Umjesto toga, zahtijevamo da <math>H\otimes_L H</math> ima ''k''-potprostor <math>T</math> koji sadržava sliku preslikavanja <math>\Delta</math> i ima dobro definirano množenje inducirano množenjem na <math>H\otimes H</math> uzduž projekcije na <math>H\otimes_L H</math>. Zahtijevamo, nadalje, da je [[kosuženje]] (korestrikcija) <math>\Delta|^T :H\to T</math> homomorfizam unitalnih algebri. Ako je homomorfizam za jedan takav potprostor <math>T</math>, tada je za svaki, i tada možemo napraviti kanonski izbor za <math>T</math>, naime Takeuchijev umnožak <math>H\times_L H\subset H\otimes_L H</math>,<ref>{{citation|arxiv=math.QA/0012164 |last1=Brzezinski |first1=Tomasz |last2=Militaru |first2=Gigel |title=Bialgebroids, <math>\times_A</math>-bialgebras and duality |year=2000 }}</ref> koji je u svakom slučaju algebra s množenjem induciranim uzduž projekcije s <math>H\otimes H</math>. Proizlazi da je dovoljno provjeriti da je slika od <math>\Delta</math> sadržana u [[Takeuchijev umnožak|Takeuchijevom umnošku]] i da je kosuženje komnoženja na njega homomorfizam algebri. Brzeziński i Militaru su pokazali da je pojam asocijativnog bialgebroida ekvivalentan pojmu <math>\times_L</math>-algebre kojeg je uveo Takeuchi još 1977<ref>M. Takeuchi, Groups of algebras over <math>A \times \bar{A}</math>, J. Math. Soc. Japan 29, 459–492, 1977</ref>.
 Pojam asocijativnog bialgebroida je poopćenje pojma ''k''-[[bialgebra|bialgebre]] gdje je komutativni bazni [[Prsten (matematika)|prsten]] zamijenjen nekomutativnom ''k''-algebrom <math>L</math>. [[Hopfov  algebroid]] nad <math>L</math> je uređeni par asocijativnog bialgebroida s totalnom algebrom <math>H</math> i antiendomorfizma algebre <math>H</math> koji zadovoljava neke dodatne uvjete (za razliku od slučaja asocijativnih bialgebroida gdje su osnovnee varijante definicije u literaturi zapravo ekvivalentne, u literaturi se promatra više sličnih ali bitno neekvivalentnih varijanti pojma Hopfovog algebroida).
@@ Redak 9: / Redak 8: @@
 Naziv bialgebroid je uvela J-H. Lu.<ref>{{citation |arxiv=q-alg/9505024 |url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037 |doi=10.1142/S0129167X96000050 |title = Hopf Algebroids and Quantum Groupoids|year = 1996|last1 = Lu|first1 = Jiang-HUA|s2cid = 9861060|journal = International Journal of Mathematics|volume = 07|pages = 47–70}}</ref> Često izostavljamo pomen asocijativnosti u nazivu, čija glavna funkcija je razlikovanje od [[Liejev bialgebroid|Liejevih bialgebroida]], koje također često zovemo naprosto bialgebroidima. Asocijativni bialgebroidi se pojavljuju u dvije kiralne verzije, lijevoj i desnoj. Dualan je pojam bikoalgebroida<ref>Imre Bálint, Scalar extension of bicoalgebroids, Appl. Categor. Struct. 16, 29–55 (2008)</ref>.
-==References==
+== Izvori i bilješke ==
-{{Reflist}}
+{{izvori}}
 ==Vanjske poveznice==
 * nLab, Associative bialgebroid, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
 * Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, Lie algebra type noncommutative phase spaces are Hopf algebroids, Lett. Math. Phys. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188
 [[Kategorija:Algebra]]

Asocijativni bialgebroid: razlika između inačica

Posljednja izmjena od 30. siječanj 2026. u 10:20

Izvori i bilješke

Vanjske poveznice

Navigacijski izbornik

Traži