Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2, dakle jednadžba općenitog oblika

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 \, }[/math]

koja je poseban slučaj polinoma n-tog reda gdje je n = 2.

Kvadratna jednadžba za [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math]

Može se prikazati u obliku:

[math]\displaystyle{ ax^2 + c = 0 \, }[/math]

iz čega slijedi da je

[math]\displaystyle{ x^2 = -\frac{c}{a} \, }[/math]

Ako je jedan od članova negativan, jednadžba će imati dva realna rješenja (dva realna korijena)

[math]\displaystyle{ x_1 = + \sqrt{ \frac{c}{a}}, x_2 = - \sqrt{ \frac{c}{a}} \, }[/math],

a ako su oba člana negativna ili pozitivna jednadžba će imati dva imaginarna rješenja

[math]\displaystyle{ x_1 = +i \sqrt{ \frac{c}{a}}, x_2 = -i \sqrt{ \frac{c}{a}} \, }[/math].

Ovakav se tip kvadratne jednadžbe u mnogim udžbenicima zove čista kvadratna jednadžba.

Kvadratna jednadžba za [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math]

Može se prikazati u obliku

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx = 0 \, }[/math]

što se može prikazati i kao

[math]\displaystyle{ x(ax+b) = 0 \, }[/math].

Rješenja ove jednadžbe bit će očito

[math]\displaystyle{ x_1 = 0, x_2 = -\frac{b}{a} \, }[/math],

gdje ovakav oblik kvadratne jednadžbe ima uvijek realna rješenja.

Ova jednadžba nerijetko se naziva prikraćena kvadratna jednadžba.

Kvadratna jednadžba sa svim članovima

Kvadratna jednadžba oblika

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 \, }[/math]

može se jednostavno riješiti ako se kvadratna jednadžba može prikazati kao produkt dva binomna faktora. Na primjer, odmah je vidljivo da se jednadžba

[math]\displaystyle{ x^2 + x - 12 = 0 \, }[/math]

može prikazati i kao

[math]\displaystyle{ (x-3)(x+4) = 0 \, }[/math]

gdje je očito da će rješenja jednadžbe biti

[math]\displaystyle{ x_1= 3, x_2= -4 \, }[/math]

jer upravo za te vrijednosti nezavisne varijable vrijednost funkcije će biti jednaka nuli. Kvadratna jednadžba se, međutim, pojavljuje u tako povoljnim oblicima razmjerno rijetko te najčešće valja poznavati općenito rješenje kvadratne jednadžbe.

Općenito rješenje kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba oblika

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 \, }[/math]

može se transformirati redom kako slijedi

[math]\displaystyle{ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + \frac{b}{2a}) ^2 + \frac{c}{a} -\frac{b^2}{4a^2} = 0 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + \frac{b}{2a}) ^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + \frac{b}{2a}) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \, }[/math]

[math]\displaystyle{ x_{1,2} + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \, }[/math]

gdje posljednja jednakost daje eksplicitna rješenja kvadratne jednadžbe. Izraz

[math]\displaystyle{ b^2-4ac\, }[/math]

naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe te se kvadratnu jednadžba može prikazati i u sljedećem obliku

[math]\displaystyle{ x _{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2a}. \, }[/math]

Diskriminanta i rješenja kvadratne jednadžbe

Prikaz diskriminante kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba samo je jedan poseban slučaj kvadratne funkcije:

[math]\displaystyle{ y=ax^2 + bx + c \, }[/math]

gdje je ona za rješenja kvadratne jednadžbe [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] jednaka nuli. Postojanje rješenja je neposredno uvjetovano tijekom i svojstvima kvadratne funkcije. Ako je diskriminanta D > 0 (slika desno, D =[math]\displaystyle{ \bigtriangleup }[/math], krivulja obojena u plavo) tada će kvadratna jednadžba imati dva realna rješenja, ako je diskriminanta D = 0, kvadratna jednadžba će imati jedno, dvostruko rješenje (crvena krivulja), a ako je diskriminanta D < 0 tada jednadžba nema realnih već ima dva konjugirano-kompleksna rješenja (žuta krivulja).

Rješenja kvadratne jednadžbe imaju i neka posebna svojstva data Vieteovim poučkom koji ustanovljava sljedeću povezanost s koeficijentima jednadžbe a, b i c:

[math]\displaystyle{ x_1+x_2 = - \frac{b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1x_2 = \frac{c}{a} }[/math].

Kvadratna funkcija i kvadratna jednadžba

Kvadratna se jednadžba može shvatiti i kao poseban slučaj kvadratne funkcije y = f(x) za vrijednost funkcije y = 0, gdje tada rješenja kvadratne jednadžbe predstavljaju nultočke kvadratne funkcije. Parabola je u tom slučaju krivulja koja predstavlja graf kvadratne funkcije, a razlikuju se tri slučaja:

• Ako postoje dva različita sjecišta grafa funkcije s apscisom, odn. x-osi koordinatnog sustava, kvadratna jednadžba će imati dva različita i realna rješenja.

• Ako je apscisa, odn. x-os tangenta grafa kvadratne funkcije te prolazi kroz tjeme parabole, kvadratna jednadžba će imati jedno dvostruko i realno rješenje.

• Ako graf kvadratne funkcije nigdje ne presijeca apscisu, odn. x-os, tada kvadratna jednadžba nema realna, već ima dva konjugirano-kompleksna rješenja.

Kvadratna jednadžba s cjelobrojnim rješenjima

Kvadratna jednadžba [math]\displaystyle{ x^2 + bx + c = 0 }[/math] imat će cjelobrojna rješenja [math]\displaystyle{ x_1, x_2 }[/math] ako i samo ako se [math]\displaystyle{ b, c }[/math] mogu zapisati u "mn-obliku", odnosno u obliku [math]\displaystyle{ b = x_1 + x_2 = m, c = x_1x_2 = n }[/math], gdje su [math]\displaystyle{ m, n }[/math] očito cijeli brojevi. (1)

Naime, gornja se jednadžba može zapisati u obliku [math]\displaystyle{ (x - x_1)(x - x_2) }[/math]. Sada lagano slijedi [math]\displaystyle{ x^2 + (- x_1 - x_2)x + x_1x_2 = 0 }[/math], a očito je [math]\displaystyle{ (- x_1)(- x_2) = x_1x_2 }[/math], što je i trebalo pokazati.

Primjeri

Ovo svojstvo se često koristi pri osnovnim matematičkim zadacima natjecateljskog tipa.

Na primjer, treba riješiti jednadžbu [math]\displaystyle{ x^2 - 2022x + 2021 = 0 }[/math]. Korištenjem kvadratne formule, postupak rješavanja nepotrebno bi bio kompliciran.

Treba uočiti da je ta jednadžba ekvivalentna s [math]\displaystyle{ x^2 - 2021x - x + 2021 = 0 }[/math].

Sada grupiramo faktore na povoljan način i faktoriziramo: [math]\displaystyle{ x(x - 1) - 2021(x - 1) = 0 }[/math], tj. [math]\displaystyle{ (x - 1)(x - 2021) = 0 }[/math], odakle slijedi da su rješenja [math]\displaystyle{ x_1 = 1, x_2 = 2021 }[/math].

Zanimljivosti

Jedina kvadratna jednadžba oblika [math]\displaystyle{ x^2 \pm ax + a, a \in \mathbb{Z}, a \neq 0 }[/math] s cjelobrojnim rješenjima je kvadratna jednadžba [math]\displaystyle{ x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2 }[/math].

Razlog je tomu što su [math]\displaystyle{ 2, - 2 }[/math] jedini brojevi (i broj nula, ali mora biti [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]) za koje je [math]\displaystyle{ (\pm \alpha) \cdot (\pm \alpha) = \alpha + \alpha, \alpha \in \mathbb{Z} }[/math], tj. [math]\displaystyle{ 2 \cdot 2 = (-2)(-2) = 2 + 2 }[/math], pa prema (1) slijedi da nema drugih mogućnosti.

Primjena

U fizikalnim sustavima brojne veličine ovise o kvadratu drugih veličina te se kvadratna jednadžba često nalazi i u vrlo praktičnoj primjeni. Na primjer:

• centrifugalna sila razmjerna je kvadratu obodne brzine
• električna snaga na električnom otporniku razmjerna je kvadratu električnog napona na njegovim priključcima,
• jednoliko ubrzanom gibanju prijeđeni put je razmjeran kvadratu vremena

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.