Analitička geometrija

Analitička geometrija je grana geometrije u kojoj se koriste algebarske metode prvenstveno linearne algebre da bi se riješili geometrijski problemi.

Metoda analitičke geometrije se koristi u svim primijenjenim znanostima, ali posebno unutar fizike, npr. za opis putanje planeta. Prvo se je analitička geometrija bavila pitanjima planeta i tzv. euklidskom geometrijom (prostornom geometrijom).

Koordinatni sustav

Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sustav.

Analitička geometrija u R²

Koordinatni sustav i transformacije

Sa (x, y) označavaju se početne koordinate a sa (x', y') nove

Paralelno pomjeranje

Ako x₀, y₀ su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:

[math]\displaystyle{ x' = x-x_0,\quad y'=y-y_0\, }[/math]

Rotacija

Ako se kut rotiranja [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni x-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim y-osom) onda su formule za transformaciju:

[math]\displaystyle{ x'=x\cos\alpha + y\sin\alpha \quad x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\, }[/math]

[math]\displaystyle{ y'=y\cos\alpha - x\sin\alpha \quad y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\, }[/math]

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost između točaka (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je:

[math]\displaystyle{ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\, }[/math]

Površina trokuta

Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃), njihova površina je

[math]\displaystyle{ \pm T = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 &y_1 &1\\ x_2 &y_2 &1\\ x_3 &y_3 &1 \end{vmatrix} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\, }[/math]

Da bi T bilo pozitivno, moraju točke (x₁,y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

Dijeljenje udaljenosti

Ako se udaljenost između točaka (x₁, y₁) och (x₂, y₂), dijeli u odnosu na m/n koordinate će biti:

[math]\displaystyle{ x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}\, }[/math]

Koeficijent kuta pravca

Neka [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] je kut koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (x₁, y₁) i (x₂,y₂) onda je oeficijent kuta pravca:

[math]\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};\quad x_1 \ne x_2\, }[/math]

Jednadžba pravca

Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po x i y i opća formula je

[math]\displaystyle{ Ax+By+C=0\, }[/math]

Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.

[math]\displaystyle{ x=a\, }[/math]

znači pravac paralelan s y-osom i

[math]\displaystyle{ y=b\, }[/math]

pracac paralelan s är en linje parallell med x-osom.

[math]\displaystyle{ y=k\,x\, }[/math]

je pracac kroz koordinatni početak.

k-formula

Pravac se može napisati i u obliku

[math]\displaystyle{ y=k\,x+m\, }[/math]

ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B är različit od nule. Ovdje je k koeficijent kuta pravca

[math]\displaystyle{ k = -\frac{A}{B},\quad m = -\frac{C}{B}\, }[/math]

i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.

Presjek

Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca x-ose i y-ose i pišu se

[math]\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 }[/math]

gdje a je x-koordinata za točku presjeka pravca s x-osom a b je y-koordinata za točku presjeka pravca s y-osom ili

[math]\displaystyle{ a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B}\, }[/math]

Standardni oblik

[math]\displaystyle{ x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\, }[/math]

je standardni oblik pravca. [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] och m bestäms ur

[math]\displaystyle{ m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} }[/math]

Znak kvadratnog korijena se bira tako da m bude pozitivno.

m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] je kut te normale s x-osom.

Udaljenost točke od pravca

Pravac napisan u standardom obliku

[math]\displaystyle{ x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\, }[/math]

Onda je udaljenost točke P s koordinatama (x₁,y₁):

[math]\displaystyle{ p=\pm (x_1\cos\alpha + y_1\sin\alpha-m)\, }[/math]

gdje se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.

Formula pravca kroz jednu točku

Jednadžba za pravac kroz točku (x₁, y₁) s kutnim koeficijentom k je

[math]\displaystyle{ y-y_1=k(x-x_1)\, }[/math]

Formula pravca kroz dvije točke

Jednadžba za pravac kroz točke (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je

[math]\displaystyle{ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\, }[/math]

Kut između dva pravca

Ako su koeficijenti kuta pravca k₁ i k₂ kut između pravaca izračunava se kao:

[math]\displaystyle{ \tan\beta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\, }[/math]

Krivulje u ravni

Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u eksplicitnom obliku

[math]\displaystyle{ y=f(x)\, }[/math]

u implicitnom obliku

[math]\displaystyle{ F(x,y)=0\, }[/math]

ili u parametarskom obliku

[math]\displaystyle{ x=x(t),\quad y=y(t)\, }[/math]

U polarnim koordinatama [math]\displaystyle{ (r, \psi) }[/math] jednadžba krivulje je

[math]\displaystyle{ r=f(\psi)\, }[/math]

ili

[math]\displaystyle{ F(r, \psi)=0\, }[/math]

Tangenta

Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u točki dodira:

[math]\displaystyle{ k=\frac{dy}{dx}=\frac{d\,f(x)}{dx}\, }[/math]

[math]\displaystyle{ k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,\quad\text{(implicitan oblik)} }[/math]

[math]\displaystyle{ k=\frac{y'(t)}{x'(t)}\,\quad\text{(parametarski oblik)} }[/math]

Asimptote

S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krivulje y = f(x) piše pomoću jednadžbe y = kx + m, onda se k i m određuju prema:

[math]\displaystyle{ k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\, }[/math]

Analitička geometrija u R³

Koordinatni sustav

Koordinatni sustav u R³ koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju x-, y- i z-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravnina, yz-ravnina i xz-ravnina.

Pravokutne koordinate

Kosinus smjera

Koordinate točke P' (x, y, z) su okomita udaljenost do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su [math]\displaystyle{ \alpha,\,\beta,\,\gamma\, }[/math] kutovi između vektora položaja duljine r i os onda je

[math]\displaystyle{ x=r\cos\alpha,\quad y=r\cos\beta,\quad z=r\cos\gamma }[/math]

gdje

[math]\displaystyle{ \cos\alpha,\, \cos\beta,\, \cos\gamma }[/math]

su kosinusi smjera označeni sa a, b i c za koje vrijedi

[math]\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 = 1\, }[/math]

Kut između dva pravca

Ako imamo dva pravca, OA₁ sa kosinusima smjera a₁, b₁ i c₁ i OA₂ sa kosinusima smjera a₂, b₂ i c₂, onda vrijedi za kut [math]\displaystyle{ \theta }[/math] između OA₁ i OA₂:

[math]\displaystyle{ \cos\theta=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\, }[/math]

Rotacija koordinatnog sustava

S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u xyz-osi označenim

za x'-os sa [math]\displaystyle{ (a', b', c')\, }[/math]

za y'-os sa [math]\displaystyle{ (a'', b'', c'')\, }[/math]

za z'-os sa [math]\displaystyle{ (a''', b''', c''')\, }[/math]

biće transformacije

[math]\displaystyle{ \begin{align} x&=a'x'+b'y'+c'z'\\ y&=a''z'+b''y'+c''z'\\ z&=a'''x'+b'''y'+c'''z' \end{align} \begin{align}\qquad x'&=a'x+a''y+a'''z\\ y'&=b'x+b''y+b'''z\\ z'&=c'x+c''y+c'''z \end{align} }[/math]

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost d između točaka (x₁, y₁, z₁) i (x₂, y₂, z₂) je

[math]\displaystyle{ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\, }[/math]

Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao

[math]\displaystyle{ a=\frac{x_2-x_1}{d},\quad b=\frac{y_2-y_1}{d},\quad c=\frac{z_2-z_1}{d},\, }[/math]

Ravnina u R³

Ako je (x₀, y₀, z₀) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (A, B, C) je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao skalrarni proizvod okimitog vektora i vektora (x - x₀, y - y₀, z - z₀):

[math]\displaystyle{ (A, B, C)(x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0\, }[/math]

što daje generalni oblik jednadžbe ravni kao

[math]\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0\, }[/math]

gdje je D

[math]\displaystyle{ -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)\, }[/math]

Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

[math]\displaystyle{ \frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\quad \frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\quad \frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\, }[/math]

Znak pred korijenom se izabire tako da je

[math]\displaystyle{ \frac{D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}}\, }[/math] uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

Okomiti oblik

Dijeljenjem sa

[math]\displaystyle{ \pm\sqrt{A^2+B^2+C^2)}\, }[/math]

dobijemo jednadžbu ravni u okomitom obliku

[math]\displaystyle{ x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma=p\, }[/math]

gdje su[math]\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma }[/math] kutevi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

Vektorski oblik

Jednadžba ravni s okomitim vektorom n, datom točkom r₀ i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku (x, y, z) u ravnini je

[math]\displaystyle{ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\mathbf{n}=0\, }[/math]

Udaljenost točke od ravnine

Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine

[math]\displaystyle{ x\cos \alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma-p=0\, }[/math]

a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe sa predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače sa predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine

[math]\displaystyle{ x+2y-2z+6=0\, }[/math]

Jednadžba ravnine u okomitom obliku

[math]\displaystyle{ \frac{x+2y-2z+6}{-3}=0;\quad d=\frac{1-3\cdot 2-2\cdot 2 +6}{-3}=1\, }[/math]

Kut između dvije ravnine

Kut [math]\displaystyle{ \omega }[/math] između dvije ravnine

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\, }[/math]

[math]\displaystyle{ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\, }[/math]

izračunava se pomoću jednadžbe

[math]\displaystyle{ \cos\omega=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\, }[/math]

Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:

[math]\displaystyle{ \cos\omega=\frac{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\, }[/math]

Pravac

Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\, }[/math]

[math]\displaystyle{ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\, }[/math]

Pravac se može napisati pomoću točke P = (x₀, y₀, z₀) na pravcu i vektora pravca u:

U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (x, y, z) na pravoj liniji:

[math]\displaystyle{ (x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda (a, b, c)\, }[/math]

ili

[math]\displaystyle{ x=x_0+a\lambda\, }[/math]

[math]\displaystyle{ y=y_0+b\lambda\, }[/math]

[math]\displaystyle{ z=z_0+c\lambda\, }[/math]

gdje su a, b i c koeficijenti pravca, ili poslije eliminiranja parametara

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\, }[/math]

U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{u}\, }[/math]

Krive linije u R³

Kriva linija u R³ može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:

[math]\displaystyle{ F_1(x,y,z)=0\quad F_2(x,y,z)=0\, }[/math]

U parametarskom obliku:

[math]\displaystyle{ x=x(t)\quad y=y(t)\quad z=z(t)\, }[/math]

U vektorskom obliku:

[math]\displaystyle{ \mathbf{r} = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\, }[/math]

Primjer:

Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao

[math]\displaystyle{ x=r\cos(t)\quad y=r\sin(t)\quad z=k t\, }[/math]

Dužina luka

Dužina luka na krivoj liniji je

[math]\displaystyle{ ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\, }[/math]

Dužina luka između t₀ i t je

[math]\displaystyle{ s=\int_{t_0}^{t}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt\, }[/math]

Tangenta

Jednadžba tangente u vektorskom obliku je

[math]\displaystyle{ \mathbf{t}=\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+\lambda\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0\, }[/math]

Okomita ravan

Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki s je

[math]\displaystyle{ (\mathbf{r}-\mathbf{r_0})\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0=0\, }[/math]

Dodirna ravnina

U točki na krivoj liniji u R³ može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva dodirna ravnina i ima jednadžbu

[math]\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\, }[/math]

gdje se A, B i C izračunavaju iz formula

[math]\displaystyle{ A=y'(s)z''(s) - z'(s)y''(s)\, }[/math]

[math]\displaystyle{ B=z'(s)x''(s) - x'(s)z''(s)\, }[/math]

[math]\displaystyle{ C=x'(s)y''(s) - y'(s)x''(s)\, }[/math]

ili u vektorksom obliku

[math]\displaystyle{ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\times\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0=0\, }[/math]

Glavna okomica

Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva glavna okomica. Njen pravac je isti kao i pravac vektora

[math]\displaystyle{ \left(\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0\, }[/math]

Dužina ovog vektora se naziva krivina K, a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:

[math]\displaystyle{ K=\left|\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right|_0=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2y}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2z}{ds^2}\right)_0^2}\, }[/math]

Površine u R³

Površina u R³ može se napisati u parametarskom obliku

[math]\displaystyle{ x=x(u,v)\, }[/math]

[math]\displaystyle{ y=y(u,v)\, }[/math]

[math]\displaystyle{ z=z(u,v)\, }[/math]

ili u vektorskom obliku

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\, }[/math]

Jednadžba se može također dati kao

[math]\displaystyle{ F(x,y,z)=0\, }[/math]

ili

[math]\displaystyle{ z=f(x,y)\, }[/math]

U ovom drugom slučaju x i y se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:

[math]\displaystyle{ \begin{align} x&=u\\ y&=v\\ z&=f(u,v) \,\end{align} }[/math]

Linijski element

[math]\displaystyle{ \begin{align} d\mathbf{r}^2 &=ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 =\\ &=\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\right]dx^2+2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}dx\,dy+\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\right]dy^2\, \end{align} }[/math]

Jednadžba tangente ravnine

Ako je jednadžba površine

[math]\displaystyle{ F(x,y,z)=0\, }[/math]

može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki (x₀, y₀, z₀):

[math]\displaystyle{ (x-x_0)F_{x_0}'+(y-y_0)F_{y_0}'+(z-z_0)F_{z_0}'=0\, }[/math]

ili u vektorskom obliku kao

[math]\displaystyle{ (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\text{grad}\,F)_0=0\, }[/math]

Jednadžba okomice na površinu

Ako je jednadžba površine

[math]\displaystyle{ F(x,y,z)=0\, }[/math]

onda vrijedi za okomicu površine u točki (x₀, y₀, z₀):

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_0}{F_{x_0}'}=\frac{y-y_0}{F_{y_0}'}=\frac{z-z_0}{F_{z_0}'}\, }[/math]

ili

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}-\mathbf{r}_0=\lambda(\text{grad}\,F)_0\, }[/math]