Vektorska analiza
Vektorska analiza je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima.
Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl.
Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija.
Vektorski operatori
Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.
Sve se te operacije mogu prikazati preko Hamiltonova operatora [math]\displaystyle{ \nabla }[/math], što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao
- [math]\displaystyle{ \nabla \equiv \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z}, }[/math]
a definicija operatora [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] u zakrivljenim koordinatama malo je složenija.
Najjednostavnije operacije su:
| Operacija | Notacija |
|---|---|
| Gradijent | [math]\displaystyle{ \operatorname{grad}(f) = \nabla f }[/math] |
| Rotacija | [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} }[/math] |
| Divergencija | [math]\displaystyle{ \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} }[/math] |
| Laplasijan | [math]\displaystyle{ \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f }[/math] |
Najpoznatiji teoremi
U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:
| Naziv | Izjava |
|---|---|
| Poopćena Newton-Leibnizova formula | [math]\displaystyle{ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. }[/math] |
| Greenov teorem | [math]\displaystyle{ \int_{C} \left( L\, dx + M\, dy \right) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA }[/math] |
| Stokesov teorem | [math]\displaystyle{ \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, }[/math] |
| Gaussov teorem | [math]\displaystyle{ \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, }[/math] |