Tenzor

U fizici i matematici, tenzor je poopćenje skalara i vektora. Za dani konačnodimenzionalni vektorski prostor [math]\displaystyle{ V }[/math] nad poljem [math]\displaystyle{ k }[/math], s dualnim prostorom [math]\displaystyle{ V^* }[/math] linearnih funkcionala iz [math]\displaystyle{ V }[/math] u [math]\displaystyle{ k }[/math]. tenzor tipa [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] je multilinearno preslikavanje

[math]\displaystyle{ T: \underbrace{ V^* \times\dots\times V^*}_{p \text{ primjeraka}} \times \underbrace{ V \times\dots\times V}_{q \text{ primjeraka}} \rightarrow k. }[/math]

Alternativno, tenzor tipa [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] je element tenzorskog produkta [math]\displaystyle{ V^{\otimes p}\otimes (V^*)^{\otimes q} := \underbrace{ V \otimes_k\dots\otimes_k V}_{p \text{ primjeraka}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes_k\dots\otimes_k V^*}_{q \text{ primjeraka}} }[/math] odgovarajućeg broja primjeraka vektorskog prostora i njegovog duala.

Ako je zadana baza [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_n }[/math] vektorskog prostora [math]\displaystyle{ V }[/math], tada kovektori [math]\displaystyle{ e^{*1},\ldots,e^{*n}\in V^* }[/math] čine bazu dualnog prostora, a vektori [math]\displaystyle{ e_{i_1}\otimes\dots \otimes e_{i_p}\otimes e_{j_1}\otimes\dots\otimes e_{j_q} }[/math] gdje [math]\displaystyle{ i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q\in\{1,\ldots,n\} }[/math] čine bazu vektorskog prostora [math]\displaystyle{ V^{\otimes p}\otimes (V^*)^{\otimes q} }[/math] koji je dimenzije [math]\displaystyle{ n^{p+q} }[/math]. Broj [math]\displaystyle{ p+q }[/math] nazivamo i red tenzora. Vektori su dakle tenzori prvog reda, a skalari su tenzori nultog reda.

Kako za konačnodimenzionalne vektorske prostore vrijedi [math]\displaystyle{ V^*\otimes V\cong End_k(V,V) }[/math] to se tenzori tipa [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] poistovjećuju s linearnim operatorima i u zadanoj bazi opisuju kvadratnom matricom. Često se tenzor tipa [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] može odrediti kao [math]\displaystyle{ p+q }[/math]-dimenzionalna hiperkubna matrica brojeva (elemenata u polju) koji se s obzirom na promjenu koordinata među vektorima ponašaju na određeni način. Te brojeve zovemo komponentama tenzora u danoj bazi. U terminima multilinearnih funkcionala, komponente tenzora [math]\displaystyle{ T }[/math] tipa [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] su brojevi [math]\displaystyle{ T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q} = T(e_{i_1},\ldots,e_{i_p},e^{*j_1},\ldots,e^{*j_q}) }[/math].

Naime kod promjene baze [math]\displaystyle{ f_{i'} = \sum_{j = 1}^n O_{i'}^j e_j }[/math] dualna baza se mijenja kontragredijentno, [math]\displaystyle{ f^{*i'} = \sum_{j=1}^n (O^{-1})^{i'}_j e^{*j} }[/math], a komponente tenzora [math]\displaystyle{ T }[/math] u novoj bazi su

[math]\displaystyle{ T^{k_1',\ldots,k_p'}_{l_1',\ldots,l_q'} = \sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q} O^{k_1'}_{i_1}\dots O^{k_p'}_{i_1} (O^{-1})^{j_1}_{l_1'}\dots (O^{-1})^{j_q}_{l_q'} T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q} }[/math].

Primjeri tenzora 2. reda u fizici su tenzor inercije u dinamici čvrstog tijela, tenzor polarizacije u optici, tenzor napetosti u teoriji elastičnosti, tenzor energije-impulsa u teoriji polja i Faradayev tenzor u elektrodinamici (u relativističkom formalizmu 4-vektora).

Vidi još

• Skalar
• Vektor
• Verzor

Nedovršeni članak Tenzor koji govori o fizici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.
Nedovršeni članak Tenzor koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.