Rolleov teorem
Rolleov teorem je jedan od najvažnijih teorema diferencijalnog računa, a kaže da ako je funkcija [math]\displaystyle{ f }[/math] neprekidna na zatvorenom intervalu [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], derivabilna na otvorenom intervalu [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] i ako vrijedi [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math], tada postoji točka [math]\displaystyle{ c \in(a,b) }[/math] takva da je [math]\displaystyle{ f'(c)=0. }[/math]
Teorem je 1691. dokazao francuski matematičar Michel Rolle, iako ga je iskazao još indijski matematičar Bhaskara II. u 12. stoljeću.[1]
Zanimljivo je da se Rolleovim teoremom može dokazati i poznati teorem o međuvrijednostima.
Dokaz
Razlikujemo dva slučaja.
Ako je funkcija [math]\displaystyle{ f }[/math] konstantna na intervalu [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], odnosno [math]\displaystyle{ f(x)=k }[/math], [math]\displaystyle{ \forall x\in [a,b] }[/math] , tada je [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \forall x\in (a,b) }[/math] pa je teorem dokazan.
Ako [math]\displaystyle{ f }[/math] nije konstantna, tada ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost na intervalu [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] u nekoj točki [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] pa tvrdnja slijedi iz Fermatovog teorema.[2]