Fermatov teorem o stacionarnim točkama

Fermatov teorem o stacionarnim točkama je jedan od temeljnih teorema diferencijalnog računa, a često se koristi pri nalaženju ekstrema funkcije.

Njegov iskaz kaže da ako realna funkcija $f$ poprima u $x_{0}$ lokalni ekstrem i ako $f$ ima derivaciju u toj točki, tada je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'(x_{0})=0.}

Teorem je dobio ime po proslavljenom francuskom matematičaru, Pierru de Fermatu koji se među prvima bavio proučavanjem ekstrema realnih funkcija.

Intuitvno govoreći, teorem daje nužan uvjet da bi neka vrijednost bila lokalni ekstrem.

Naime, ako je $f(x_{0})$ lokalni ekstrem, očito je da onda lokalno lijevo od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} funkcija Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} treba prvo rasti pa lokalno desno od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} padati (ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_0)} lokalni maksimum) ili obrnuto, prvo padati pa rasti (ako je $f(x_{0})$ lokalni minimum). Kada ovome ne bi bilo tako, onda Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_0)} ne bi bio lokalni ekstrem.

No, teorem kaže da između padanja i rasta (i obrnuto), funkcija treba stagnirati, kako bi njen daljnji tijek bio moguć.

Dokaz

Prema pretpostavci, funkcija Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} ima derivaciju u točki Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} pa postoji $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{h}}$ gdje smo za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \neq x_0} označili Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = x - x_0.}

Pretpostavimo sada da Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} ima maksimum u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0.} Dakle, onda lijevo od točke Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} vrijedi $f(x)<f(x_{0})$ za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x < x_0.}

Prema tome, vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}>0.}

Kada Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \rightarrow x_0} slijeva, ovaj kvocijent teži k derivaciji u točki $x_{0}$ pa je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x_0) \geq 0.}

Desno od točke Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} vrijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) < f(x_0), x > x_0} pa je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < 0. }

Kada Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \rightarrow x_0} slično dobivamo $f'(x_{0})\leq 0.$

Zato mora biti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x_0) = 0,} što je i trebalo dokazati.