Fermatov teorem o stacionarnim točkama je jedan od temeljnih teorema diferencijalnog računa, a često se koristi pri nalaženju ekstrema funkcije.
Njegov iskaz kaže da ako realna funkcija poprima u lokalni ekstrem i ako ima derivaciju u toj točki, tada je [1]
Teorem je dobio ime po proslavljenom francuskom matematičaru, Pierru de Fermatu koji se među prvima bavio proučavanjem ekstrema realnih funkcija.
Intuitvno govoreći, teorem daje nužan uvjet da bi neka vrijednost bila lokalni ekstrem.
Naime, ako je lokalni ekstrem, očito je da onda lokalno lijevo od funkcija treba prvo rasti pa lokalno desno od padati (ako je lokalni maksimum) ili obrnuto, prvo padati pa rasti (ako je lokalni minimum). Kada ovome ne bi bilo tako, onda ne bi bio lokalni ekstrem.
No, teorem kaže da između padanja i rasta (i obrnuto), funkcija treba stagnirati, kako bi njen daljnji tijek bio moguć.
Dokaz
Prema pretpostavci, funkcija ima derivaciju u točki pa postoji gdje smo za označili
Pretpostavimo sada da ima maksimum u Dakle, onda lijevo od točke vrijedi za
Prema tome, vrijedi
Kada slijeva, ovaj kvocijent teži k derivaciji u točki pa je
Desno od točke vrijedi pa je
Kada slično dobivamo
Zato mora biti što je i trebalo dokazati.[2]
Izvori
- ↑ https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/DerivativeAppsProofs.aspx
- ↑ Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 4, za prirodoslovno-matematičke gimnazije, Element, Zagreb, 2015.