Pitagorine trojke

Pitagorina trojka je naziv za uređenu trojku prirodnih brojeva $(x,y,z)$ gdje su $x$ i $y$ duljine kateta, a $z$ duljina hipotenuze nekog pravokutnog trokuta. Prema Pitagorinom poučku je $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Ako su $x,y,z$ relativno prosti, onda kažemo da je $(x,y,z)$ primitivna Pitagorina trojka. Takav trokut sukladno tome nazivljemo primitivni Pitagorin trokut. Uočimo da iz $M(x,y,z)=1$ slijedi da je $M(x,y)=M(x,z)=M(y,z)=1$.

Poznato je da je francuski matematičar i pravnik Pierre de Fermat u svojim radovima u vezi Fermatovog posljednjeg teorema koristio tzv. metodu beskonačnog spusta. U tim se radovima bavio i Pitagorinim trojkama jer su one zapravo rješenje Fermatove jednadžbe $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ za slučaj n = 2.

Euklidova formula

Euklidova formula je teorem koji daje jednostavnu formulu kojom se mogu generirati sve Pitagorine trojke. Teorem kaže da su sve Pitagorine trojke $(x,y,z)$ u kojima je $x$ paran, dane formulama $x=2mn,y=m^{2}-n^{2},z=m^{2}+n^{2}$, gdje je $m>n$ i $m,n$ relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku sa stranicama $x,y,z$. Tada je $M(x,y,z)=1$ i vrijedi $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ (1). (Trebaju biti sva tri međusobno relativno prosta jer da je npr. $M(x,y)=d>1$ iz (1) slijedilo bi da $d\vert z$.) Jasno je da ne mogu sva tri broja $x,y,z$ biti neparna, a očito ne može biti više od jednog parnog jer bi tada $x,y,z$ ne bi bili relativno prosti. Dakle, jedan od $x,y,z$ mora biti paran. Dokazat ćemo da je $z$ neparan. Naime, kada bi $z=2n$ bio paran, tada bi $x=2n_{1}+1,y=2n_{2}+1$ trebali biti neparni. No, onda bi iz (1) slijedilo da je lijeva strana jednakosti daje ostatak 2, a desna ostatak 0 pri dijeljenju s 4, što je kontradikcija. Dakle, $z$ je neparan te su $x,y$ različite parnosti.

Sada bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x$ paran. Zapišimo (1) u obliku $x^{2}=(z-y)(z+y)$ (2), gdje su $z-y,z+y$ oba parni, jer su očito iste parnosti, a na lijevoj strani je paran broj. Dakle, postoje $a,b,c\in \mathbb {N}$ takvi da $x=2u,z-y=2v,z+y=2w$. Uvrštavanjem u (2) dobije se Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u^{2}=vw} . Pokažimo sada da su Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v,w} također relativno prosti. Kako Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M(v,w)} dijeli oba $v+w=z,v-w=y$ slijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M(v,w)\vert M(y,z)=1} pa je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M(v,w)=1} . Odmah se vidi da, zbog toga što je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u^{2}=vw} prema Osnovnom stavku aritmetike slijedi da su oba Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v,w} potpuni kvadrati pa postoje Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m>m,m,n\in \mathbb {N} } takvi da je $v=m^{2},w=n^{2}$. Kako je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M(v,w)=1} slijedi da su i $m,n$ relativno prosti te odovuda slijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z=m^{2}+n^{2},y=m^{2}-n^{2}} . Zbog toga što su Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z,y} oba neparni jasno je da su $m,n$ različite parnosti. Iz (1) dobivamo da je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}=2mn.}

Valjda još dokazati da je za bilo koja dva relativno prosta prirodna broja $m,n$ trojka Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} zapravo primitivna Pitagorina trojka. Očito je da $(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$ vrijedi, dakle treba još samo pokazati da je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})=1} . Pretpostavimo da postoji Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d>1} takav da Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert 2mn,d\vert m^{2}-n^{2}} . Kako je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m^{2}-n^{2}} neparan vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\neq 2k,k\in \mathbb {N} } pa $d$ mora dijeliti točno jedan od $m,n$; neka BSO $d\vert m$. Tada Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert m^{2}-n^{2},d\vert m^{2}} pa Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert n^{2}} iz čega je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert n} , što je kontradikcija.

Ovime smo pokazali valjanost Euklidove formule, odnosno da su sve Pitagorine trojke dane identitetom Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (2dmn)^{2}+(d(m^{2}-n^{2}))^{2}=(d(m^{2}+n^{2}))^{2}} na skupu prirodnih brojeva.

Povezanost s kompleksnim brojevima

Neka je $z=x+yi,x,y\in \mathbb {N}$. Tada vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi} .

Stavimo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |x^{2}-y^{2}|=a,2|xy|=b} pa ćemo imati: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}=c^{2}.}

I sada iz jednakosti Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a=|x^{2}-y^{2}|,b=2xy,c=x^{2}+y^{2}} za svaki $x,y\in \mathbb {N} ,x\neq y$ dobijemo jednu Pitagorinu trojku brojeva.

Napomena o ekvivalenciji

Samo na temelju definicije Pitagorine trojke nije očito da će rješavanje jednadžbe $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ u skupu prirodnih brojeva biti potpuno ekvivalentno traženju Pitagorinih trojki.

Naime, nije otklonjena mogućnost da ako je trojka $(x_{0},y_{0},z_{0})$ za Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}\in \mathbb {N} } rješenje jednadžbe (1), da uistinu postoji pravokutan trokut sa stranicama Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}} .

Da bismo dokazali da za svaku trojku koja je rješenje jednadžbe (1) postoji takav pravokutan trokut dovoljno je pokazati da za bilo koju takvu trojku $(x_{0},y_{0},z_{0})$ vrijedi nejednakost trokuta, tj. da mora biti Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0}+y_{0}>z_{0},x_{0}+z_{0}>y_{0},y_{0}+z_{0}>x_{0}} jer će tada biti moguće konstruirati pravokutan trokut sa stranicama Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}} .

Treba uočiti da je jednadžba (1) ekvivalentna s $(x_{0}+y_{0})^{2}-2x_{0}y_{0}={z_{0}}^{2}$ iz čega slijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0}+y_{0})^{2}>{z_{0}}^{2}} (jer je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2x_{0}y_{0}>0} ) pa je očito Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0}+y_{0}>z_{0}.} Analogno se pokazuju druge dvije nejednakosti.

Ovime je ekvivalencija dokazana, odnosno svaka trojka prirodnih brojeva Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}} koja zadovoljava $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ je ujedino i jedna Pitagorina trojka.