Pitagorine trojke

Pitagorina trojka je naziv za uređenu trojku prirodnih brojeva [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math] gdje su [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math] duljine kateta, a [math]\displaystyle{ z }[/math] duljina hipotenuze nekog pravokutnog trokuta. Prema Pitagorinom poučku je [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math].

Ako su [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] relativno prosti, onda kažemo da je [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math] primitivna Pitagorina trojka. Takav trokut sukladno tome nazivljemo primitivni Pitagorin trokut. Uočimo da iz [math]\displaystyle{ M(x, y, z) = 1 }[/math] slijedi da je [math]\displaystyle{ M(x, y) = M(x, z) = M(y, z) = 1 }[/math].

Poznato je da je francuski matematičar i pravnik Pierre de Fermat u svojim radovima u vezi Fermatovog posljednjeg teorema koristio tzv. metodu beskonačnog spusta. U tim se radovima bavio i Pitagorinim trojkama jer su one zapravo rješenje Fermatove jednadžbe [math]\displaystyle{ x^n + y^n = z^n }[/math] za slučaj n = 2.

Euklidova formula

Euklidova formula je teorem koji daje jednostavnu formulu kojom se mogu generirati sve Pitagorine trojke. Teorem kaže da su sve Pitagorine trojke [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math] u kojima je [math]\displaystyle{ x }[/math] paran, dane formulama [math]\displaystyle{ x = 2mn, y = m^2 - n^2, z = m^2 + n^2 }[/math], gdje je [math]\displaystyle{ m \gt n }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku sa stranicama [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math]. Tada je [math]\displaystyle{ M(x, y, z) = 1 }[/math] i vrijedi [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] (1). (Trebaju biti sva tri međusobno relativno prosta jer da je npr. [math]\displaystyle{ M(x, y) = d \gt 1 }[/math] iz (1) slijedilo bi da [math]\displaystyle{ d \vert z }[/math].) Jasno je da ne mogu sva tri broja [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] biti neparna, a očito ne može biti više od jednog parnog jer bi tada [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] ne bi bili relativno prosti. Dakle, jedan od [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math] mora biti paran. Dokazat ćemo da je [math]\displaystyle{ z }[/math] neparan. Naime, kada bi [math]\displaystyle{ z = 2n }[/math] bio paran, tada bi [math]\displaystyle{ x = 2n_1 + 1, y = 2n_2 + 1 }[/math] trebali biti neparni. No, onda bi iz (1) slijedilo da je lijeva strana jednakosti daje ostatak 2, a desna ostatak 0 pri dijeljenju s 4, što je kontradikcija. Dakle, [math]\displaystyle{ z }[/math] je neparan te su [math]\displaystyle{ x, y }[/math] različite parnosti.

Sada bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je [math]\displaystyle{ x }[/math] paran. Zapišimo (1) u obliku [math]\displaystyle{ x^2 = (z - y)(z + y) }[/math] (2), gdje su [math]\displaystyle{ z - y, z + y }[/math] oba parni, jer su očito iste parnosti, a na lijevoj strani je paran broj. Dakle, postoje [math]\displaystyle{ a, b,c \in \mathbb{N} }[/math] takvi da [math]\displaystyle{ x = 2u, z - y = 2v, z + y = 2w }[/math]. Uvrštavanjem u (2) dobije se [math]\displaystyle{ u^2 = vw }[/math]. Pokažimo sada da su [math]\displaystyle{ v, w }[/math] također relativno prosti. Kako [math]\displaystyle{ M(v, w) }[/math] dijeli oba [math]\displaystyle{ v + w = z, v - w = y }[/math] slijedi [math]\displaystyle{ M(v, w) \vert M(y, z) = 1 }[/math] pa je [math]\displaystyle{ M(v, w) = 1 }[/math]. Odmah se vidi da, zbog toga što je [math]\displaystyle{ u^2 = vw }[/math] prema Osnovnom stavku aritmetike slijedi da su oba [math]\displaystyle{ v, w }[/math] potpuni kvadrati pa postoje [math]\displaystyle{ m \gt m, m, n \in \mathbb{N} }[/math] takvi da je [math]\displaystyle{ v = m^2, w = n^2 }[/math]. Kako je [math]\displaystyle{ M(v, w) = 1 }[/math] slijedi da su i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] relativno prosti te odovuda slijedi [math]\displaystyle{ z = m^2 + n^2, y = m^2 - n^2 }[/math]. Zbog toga što su [math]\displaystyle{ z, y }[/math] oba neparni jasno je da su [math]\displaystyle{ m, n }[/math] različite parnosti. Iz (1) dobivamo da je [math]\displaystyle{ x^2 = (m^2 + n^2)^2 - (m^2 - n^2)^2 = 2mn. }[/math]

Valjda još dokazati da je za bilo koja dva relativno prosta prirodna broja [math]\displaystyle{ m, n }[/math] trojka [math]\displaystyle{ (2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2) }[/math] zapravo primitivna Pitagorina trojka. Očito je da [math]\displaystyle{ (2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2 }[/math] vrijedi, dakle treba još samo pokazati da je [math]\displaystyle{ M(2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2) = 1 }[/math]. Pretpostavimo da postoji [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math] takav da [math]\displaystyle{ d \vert 2mn, d \vert m^2 - n^2 }[/math]. Kako je [math]\displaystyle{ m^2 - n^2 }[/math] neparan vrijedi [math]\displaystyle{ d \neq 2k, k \in \mathbb{N} }[/math] pa [math]\displaystyle{ d }[/math] mora dijeliti točno jedan od [math]\displaystyle{ m, n }[/math]; neka BSO [math]\displaystyle{ d \vert m }[/math]. Tada [math]\displaystyle{ d \vert m^2 - n^2, d \vert m^2 }[/math] pa [math]\displaystyle{ d \vert n^2 }[/math] iz čega je [math]\displaystyle{ d \vert n }[/math], što je kontradikcija.

Ovime smo pokazali valjanost Euklidove formule, odnosno da su sve Pitagorine trojke dane identitetom [math]\displaystyle{ (2dmn)^2 + (d(m^2 - n^2))^2 = (d(m^2 + n^2))^2 }[/math] na skupu prirodnih brojeva.

Povezanost s kompleksnim brojevima

Neka je [math]\displaystyle{ z = x + yi, x, y \in \mathbb{N} }[/math]. Tada vrijedi [math]\displaystyle{ z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi }[/math].

Stavimo [math]\displaystyle{ |x^2 - y^2| = a, 2|xy| = b }[/math] pa ćemo imati: [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 = (x^2 - y^2)^2 + 4x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 = c^2. }[/math]

I sada iz jednakosti [math]\displaystyle{ a = |x^2 - y^2|, b = 2xy, c = x^2 + y^2 }[/math] za svaki [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}, x \neq y }[/math] dobijemo jednu Pitagorinu trojku brojeva.

Napomena o ekvivalenciji

Samo na temelju definicije Pitagorine trojke nije očito da će rješavanje jednadžbe [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] u skupu prirodnih brojeva biti potpuno ekvivalentno traženju Pitagorinih trojki.

Naime, nije otklonjena mogućnost da ako je trojka [math]\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0) }[/math] za [math]\displaystyle{ x_0, y_0, z_0 \in \mathbb{N} }[/math] rješenje jednadžbe (1), da uistinu postoji pravokutan trokut sa stranicama [math]\displaystyle{ x_0, y_0, z_0 }[/math].

Da bismo dokazali da za svaku trojku koja je rješenje jednadžbe (1) postoji takav pravokutan trokut dovoljno je pokazati da za bilo koju takvu trojku [math]\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0) }[/math] vrijedi nejednakost trokuta, tj. da mora biti [math]\displaystyle{ x_0 + y_0 \gt z_0, x_0 + z_0 \gt y_0, y_0 + z_0 \gt x_0 }[/math] jer će tada biti moguće konstruirati pravokutan trokut sa stranicama [math]\displaystyle{ x_0, y_0, z_0 }[/math].

Treba uočiti da je jednadžba (1) ekvivalentna s [math]\displaystyle{ (x_0 + y_0)^2 - 2x_0y_0 = {z_0}^2 }[/math] iz čega slijedi [math]\displaystyle{ (x_0 + y_0)^2 \gt {z_0}^2 }[/math] (jer je [math]\displaystyle{ 2x_0y_0 \gt 0 }[/math]) pa je očito [math]\displaystyle{ x_0 + y_0 \gt z_0. }[/math] Analogno se pokazuju druge dvije nejednakosti.

Ovime je ekvivalencija dokazana, odnosno svaka trojka prirodnih brojeva [math]\displaystyle{ x_0, y_0, z_0 }[/math] koja zadovoljava [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2 }[/math] je ujedino i jedna Pitagorina trojka.