Osnovni teorem o racionalnim nultočkama

Osnovni teorem o racionalnim nultočkama je jedan od temeljnih teorema u algebri.

Tvrdi da ako su [math]\displaystyle{ p, q }[/math] relativno prosti brojevi i ako je [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] jedna nultočka polinoma [math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_0 }[/math] s cjelobrojnim koeficijentima [math]\displaystyle{ a_n, a_{n - 1}, ..., a_0 \in \mathbb{Z}, a_n , a_0 \neq 0, }[/math] tada [math]\displaystyle{ p \vert a_0 }[/math] te [math]\displaystyle{ q \vert a_n }[/math].

Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je [math]\displaystyle{ q = 1 }[/math], tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{Z} }[/math] jer tada će očito [math]\displaystyle{ p }[/math] dijeliti slobodni član [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], a uvjet [math]\displaystyle{ q \vert a_n }[/math] trivijalno je zadovoljen.

Dokaz

Neka imamo polinom [math]\displaystyle{ P(x) \ =\ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 }[/math] s koeficijentima [math]\displaystyle{ a_0, \ldots a_n \in \mathbb{Z}. }[/math] Pretpostavimo da je [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] nultočka polinoma [math]\displaystyle{ P(x) }[/math], tj. da je [math]\displaystyle{ P(\frac{p}{q}) = 0 }[/math] za neka dva relativno prosta broja [math]\displaystyle{ p, q \in \mathbb{Z} }[/math].

Dakle, vrijedi

[math]\displaystyle{ P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0. }[/math]

Pomnožimo obje strane jednakosti s [math]\displaystyle{ q^n }[/math]. Dobivamo

[math]\displaystyle{ a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0. }[/math]

Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:

[math]\displaystyle{ p \left (a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1} \right ) = -a_0q^n. }[/math]

Dakle, [math]\displaystyle{ p }[/math] dijeli [math]\displaystyle{ a_0q^n }[/math]. No, kako su [math]\displaystyle{ p, q }[/math] relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i [math]\displaystyle{ p, q^n }[/math] također relativno prosti što znači da mora biti [math]\displaystyle{ p \vert a_0 }[/math].

Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik

[math]\displaystyle{ q \left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1} \right ) = -a_np^n. }[/math]

Analogno slijedi [math]\displaystyle{ q \vert a_n }[/math], što je i trebalo pokazati.