Modul (algebra)

Modul nad prstenom je poopćenje vektorskog prostora nad poljem s istim aksiomima, osim što je polje skalara zamijenjeno prstenom s jedinicom.

Neka je R prsten s jedinicom [math]\displaystyle{ 1_R }[/math]. Lijevi modul nad R (sinonim: lijevi R-modul) je Abelova grupa [math]\displaystyle{ M = (M,+,0) }[/math] zajedno s funkcijom [math]\displaystyle{ \nu : R\times M\to M }[/math] takvom da za sve [math]\displaystyle{ r,s\in R, m,m'\in M }[/math] vrijedi

(i) [math]\displaystyle{  \nu (r, \nu(s, m)) = \nu (r\cdot s, m) }[/math] (aksiom lijevog djelovanja)
(ii) [math]\displaystyle{  \nu(r+s,m) = \nu(r,m) + \nu(s,m) }[/math] (aditivnost u R) 
(iii) [math]\displaystyle{  \nu(r,m+m') = \nu(r,m) + \nu(r,m') }[/math] (aditivnost u M)
(iv) [math]\displaystyle{  \nu (1_R, m) = m }[/math] (unitalnost djelovanja)

Funkciju [math]\displaystyle{ \nu }[/math] zovemo djelovanjem R-modula [math]\displaystyle{ (M,\nu) }[/math].

Često djelovanje označavamo sintaktički kao dvovrsnu binarnu operaciju, tj. njenu oznaku pišemo između argumenata. Ako je djelovanje dakle [math]\displaystyle{ \triangleright : R\times M\to M }[/math], u toj sintaksi su gornji aksiomi

(i) [math]\displaystyle{  r\triangleright (s\triangleright m)= (r\cdot s)\triangleright m }[/math] (aksiom lijevog djelovanja)
(ii) [math]\displaystyle{  (r+s)\triangleright m = r\triangleright m + s\triangleright m }[/math] (aditivnost u R) 
(iii) [math]\displaystyle{  r\triangleright (m+m') = r\triangleright m + r\triangleright m' }[/math] (aditivnost u M)
(iv) [math]\displaystyle{  1_R\triangleright m = m }[/math] (unitalnost djelovanja)