Metrika (matematika)

Metrika ili razdaljinska funkcija je matematička formalizacija intuitivnog geometrijskog koncepta udaljenosti dviju točaka.

Definicija

Uređen par [math]\displaystyle{ (X, d) }[/math] nepraznog skupa [math]\displaystyle{ X }[/math] i funkcije [math]\displaystyle{ d : X \times X \to \mathbb{R} }[/math] naziva se metrički prostor, a funkcija [math]\displaystyle{ d }[/math] razdaljinska funkcija ili metrika na [math]\displaystyle{ X }[/math] ako su ispunjeni ovi uvjeti:

• [math]\displaystyle{ d(x, y) \geq 0, \forall x, y \in X }[/math]
• [math]\displaystyle{ d(x, y) = 0 \iff x = y }[/math]
• [math]\displaystyle{ d(x, y) = d(y, x), \forall x, y \in X }[/math]
• [math]\displaystyle{ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y), \forall x, y, z \in X }[/math]

Primjeri

Jedna od metrika na [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] dana je formulom:

[math]\displaystyle{ d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2} }[/math]

gdje je [math]\displaystyle{ P = (x_1, ..., x_n), Q = (y_1, ..., y_n) \in \mathbb{R}^n }[/math]. Za [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] i točke [math]\displaystyle{ P(a), Q(b) \in \mathbb{R} }[/math] dobiva se [math]\displaystyle{ d(P, Q) = |a - b| }[/math], za [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] i točke [math]\displaystyle{ P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2 }[/math] metrika prelazi u udaljenost dviju točaka u ravnini, tj. [math]\displaystyle{ d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} }[/math]. Treba napomenuti da je metrika svaka funkcija koja zadovoljava gornja četiri uvjeta, bez obzira da li se u posebnim slučajevima poklapa s pojmom udaljenosti.

Primjer metrike na [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] dan je formulom:

[math]\displaystyle{ d(x, y) = \sqrt{|x_1 - y_1|^2 + ... + |x_n - y_n|^2} }[/math]

gdje su [math]\displaystyle{ x_k, y_k, k=1, 2, ..., n \in \mathbb{N} }[/math] koordinate dvaju točaka iz [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math].

Na skupu [math]\displaystyle{ C[a, b] }[/math] svih realnih (kompleksnih) funkcija neprekidnih na segmentu [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] jedna od metrika definirana je s:

[math]\displaystyle{ d(f, g) = \sqrt{\int_a^b |f(t) - g(t)|^2 dt} }[/math]

gdje su [math]\displaystyle{ f, g \in C[a, b] }[/math].