Matematička formulacija kvantne mehanike
Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s [math]\displaystyle{ L^2 }[/math] normom, gdje je [math]\displaystyle{ L^2 }[/math] prostor kvadratno integrabilnih funkcija.
Matematički problemi u kvantnoj mehanici
U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se sa tri primjera koja ukazuju na te probleme.
Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednosti
Ako se želi pronaći svojstvene vrijednosti operatora: [math]\displaystyle{ \hat{A} }[/math] rješava se iduća jednadžba:
[math]\displaystyle{ \hat{A}\psi=a\psi }[/math]
gdje je [math]\displaystyle{ a }[/math] svojstvena vrijednost danog operatora, a [math]\displaystyle{ \psi }[/math] svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da navedena jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ako je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješava se iduća jednadžba: [math]\displaystyle{ -\Delta\psi(x)=E\psi(x) }[/math]
Nju se može rješiti ako je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: [math]\displaystyle{ \psi(x)=e^{ikx} }[/math] no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za [math]\displaystyle{ \psi(x)=0 }[/math]
Ovaj se problem rješava na sljedeći način: Prvo se početna jednadžba zapiše u idućem obliku: [math]\displaystyle{ (\hat{A}-a\hat{I})psi=0 }[/math] Ako izraz [math]\displaystyle{ \hat{A}-a\hat{I} }[/math] nije invertibilan, kaže se da [math]\displaystyle{ a }[/math] pripada spektru operatora [math]\displaystyle{ \hat{A} }[/math] koji se označava s [math]\displaystyle{ \sigma(\hat{A}) }[/math]. U protivnom se kaže da [math]\displaystyle{ a }[/math] pripada rezolventnom skupu [math]\displaystyle{ \rho(\hat{A}) }[/math].
Primjer 2: Norma operatora
Norma operatora [math]\displaystyle{ A }[/math] definira se:
[math]\displaystyle{ \|A\|=\{\sup\frac{\|A\psi\|}{\|\psi\|} : \psi \in H/\{0\}\} }[/math]
gdje je H Hilbertov prostor. Ako je norma operatora konačna, kaže se da je operator ograničen, a ako je [math]\displaystyle{ \|A\|=\infty }[/math], tada se kaže da je operator neograničen. U tom slučaju operator se ne može definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već se najčešće zahtijeva da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja: [math]\displaystyle{ \hat{x}\psi(x)=x\psi(x) }[/math]
Neka je [math]\displaystyle{ \psi(x)=(1+|x|)^{-\frac{2}{3}} }[/math] Vidi se da je [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] kvadratno integrabilna funkcija, no, kada se na tu funkciju djeluje operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.
Primjer 3: Adjungirani i samoadjungirani operator
Ako je dan ograničeni operator [math]\displaystyle{ \hat{A} }[/math] definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s [math]\displaystyle{ \langle\phi,\hat{A}^*\psi\rangle=\langle\hat{A}\phi,\psi\rangle }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ \langle \centerdot , \centerdot \rangle }[/math] označava skalarni produkt. Ako je [math]\displaystyle{ \hat{A}^*=\hat{A} }[/math], tada se kaže da je operator [math]\displaystyle{ \hat{A} }[/math] samoadjungirani operator. No, ako operator neograničen, tada se može dogoditi da se domene operatora i adjungiranog operatora ne podudaraju.
Kada postoji kvantna mehanika?
Promotrimo iduću komutacijsku relaciju:
[math]\displaystyle{ [\hat{p},\hat{q}]=-i \hbar }[/math]
gdje je [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] operator momenta, [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math] operator položaja, te [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] reducirana Planckova konstanta. Ova relacija se još naziva Born-Jordanova relacija, te se iz nje može iščitati kada postoji kvantna mehanika ovisno o definiciji operatora [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math]. Naime, ako je [math]\displaystyle{ \hbar=0 }[/math], tada se može reći da kvantna mehanika ne postoji zbog Heisenbergovih relacija neodređenosti. U ovom dijelu će se promotriti tri slučaja za operatore [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math].
1) Uzmimo da su p i q nxn matrice , pri čemu će n prirodni broj, te pretpostavimo da Born-Jordanova relacija vrijedi. Uzimajući trag početne relacije lako se vidi da konstanta mora biti jednaka nuli jer je n proizvoljan. Dakle, [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math] ne mogu biti matrice ako želimo da vrijede zakoni kvantne mehanike.
2) Sada pretpostavimo da su [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math] opservable definirane svuda na Hilbertovom prostoru, te da zadovoljavaju početnu relaciju i da jedna od njih ima svojstveni vektor. Ako su p i q opservable, to znači da su samo-adjungirani operatori jer im spektar mora biti realan. Nadalje operatori [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math] su definirani svuda na Hilbertovom prostoru, to znači da su p i q ograničeni operatori prema Hellinger-Toeplitz teoremu. Uzimajući sve u obzir, može se pokazati da je i u ovom slučaju reducirana Planckova konstanta jednaka nuli.
3) Sada pogledajmo slučaj u kojemu su operatori [math]\displaystyle{ \hat{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ \hat{q} }[/math] definirani na gustom potprostoru Hilbertovog prostora. Naime, ako je barem jedan operator neograničen, pročetna relacija je zadovoljena. Čitatelj može vrlo lako dokazati ovu tvrdnju korištenjem iduće relacije: [math]\displaystyle{ [\hat{p},\hat{q}^n]=-in\hbar\hat{q}^{n-1} }[/math] Ova relacija se može dokazati uz pomoć matematičke indukcije.
Izvori
[1] Reed, Michael and Simon, Barry: Methods of Mathematical Physics, Volume 1: Functional Analysis. Academic Press, 1980. See Section III.5.
[2] Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society.