Matematička formulacija kvantne mehanike

Kvantna fizika

Datoteka:Schrödinger cat.png

Uvod u kvantnu mehaniku Matematička formulacija kvantne mehanike Fundamentalni koncepti Komplementarnost · Dekoherencija · Sprezanje · Interferencija · Energetska razina · Nelokalnost · Kvantni broj · Stanje · Superpozicija · Simetrija · Tuneliranje · Neodređenost · Isključenje · Teorija transformacije · Valna funkcija (kolaps) · Ehrenfestov teorem · Mjerenje Eksperimenti Afsharov · Bellova nejednakost · Davisson–Germer · Dvostruka pukotina · Elitzur–Vaidman · EPR paradoks · Franck–Hertz · Mach–Zehnder · Popperov · Kvantni brisač (odgođeni izbor) · Schrödingerova mačka · Stern–Gerlach eksperiment · Wheelerov odgođeni izbor Jednadžbe Schrödingerova jednadžba · Paulijeva jednadžba · Klein-Gordonova jednadžba · Diracova jednadžba Napredne teorije Kvantna teorija polja · Kvantna elektrodinamika · Kvantna kromodinamika · Kvantna gravitacija · Feynmanov dijagram Interpretacije Kopenhagenska · Kvantna logika · Skrivene varijable · Transakcijska · Mnogo-svjetova · Ansambl · Konzistentne povijesti · Relacijska · Svijest uzrokuje kolaps · Spontana lokalizacija Znanstvenici Planck · Schrödinger · Heisenberg · Bohr · Pauli · Dirac · Bohm · Born · de Broglie · von Neumann · Einstein · Feynman · Everett · Drugi

Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L^{2}} normom, gdje je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L^{2}} prostor kvadratno integrabilnih funkcija.

Matematički problemi u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se sa tri primjera koja ukazuju na te probleme.

Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednosti

Ako se želi pronaći svojstvene vrijednosti operatora: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\hat {A}}} rješava se iduća jednadžba:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }
 

gdje je $a$ svojstvena vrijednost danog operatora, a Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \psi } svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da navedena jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ako je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješava se iduća jednadžba: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -\Delta \psi (x)=E\psi (x)}

Nju se može rješiti ako je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}} no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \psi (x)=0}

Ovaj se problem rješava na sljedeći način: Prvo se početna jednadžba zapiše u idućem obliku: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ({\hat {A}}-a{\hat {I}})psi=0} Ako izraz ${\hat {A}}-a{\hat {I}}$ nije invertibilan, kaže se da $a$ pripada spektru operatora Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\hat {A}}} koji se označava s Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sigma ({\hat {A}})} . U protivnom se kaže da $a$ pripada rezolventnom skupu Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \rho ({\hat {A}})} .

Primjer 2: Norma operatora

Norma operatora $A$ definira se:

$\|A\|=\{\sup {\frac {\|A\psi \|}{\|\psi \|}}:\psi \in H/\{0\}\}$  

gdje je H Hilbertov prostor. Ako je norma operatora konačna, kaže se da je operator ograničen, a ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|A\|=\infty} , tada se kaže da je operator neograničen. U tom slučaju operator se ne može definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već se najčešće zahtijeva da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja: Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{x}\psi(x)=x\psi(x)}

Neka je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x)=(1+|x|)^{-\frac{2}{3}}} Vidi se da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x)} kvadratno integrabilna funkcija, no, kada se na tu funkciju djeluje operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.

Primjer 3: Adjungirani i samoadjungirani operator

Ako je dan ograničeni operator Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}} definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle\phi,\hat{A}^*\psi\rangle=\langle\hat{A}\phi,\psi\rangle} gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \centerdot , \centerdot \rangle} označava skalarni produkt. Ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}^*=\hat{A}} , tada se kaže da je operator Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{A}} samoadjungirani operator. No, ako operator neograničen, tada se može dogoditi da se domene operatora i adjungiranog operatora ne podudaraju.

Kada postoji kvantna mehanika?

Promotrimo iduću komutacijsku relaciju:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [\hat{p},\hat{q}]=-i \hbar }
  

gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} operator momenta, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} operator položaja, te Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar } reducirana Planckova konstanta. Ova relacija se još naziva Born-Jordanova relacija, te se iz nje može iščitati kada postoji kvantna mehanika ovisno o definiciji operatora Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} . Naime, ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hbar=0 } , tada se može reći da kvantna mehanika ne postoji zbog Heisenbergovih relacija neodređenosti. U ovom dijelu će se promotriti tri slučaja za operatore Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} .

1) Uzmimo da su p i q nxn matrice , pri čemu će n prirodni broj, te pretpostavimo da Born-Jordanova relacija vrijedi. Uzimajući trag početne relacije lako se vidi da konstanta mora biti jednaka nuli jer je n proizvoljan. Dakle, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} ne mogu biti matrice ako želimo da vrijede zakoni kvantne mehanike.

2) Sada pretpostavimo da su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} opservable definirane svuda na Hilbertovom prostoru, te da zadovoljavaju početnu relaciju i da jedna od njih ima svojstveni vektor. Ako su p i q opservable, to znači da su samo-adjungirani operatori jer im spektar mora biti realan. Nadalje operatori Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} su definirani svuda na Hilbertovom prostoru, to znači da su p i q ograničeni operatori prema Hellinger-Toeplitz teoremu. Uzimajući sve u obzir, može se pokazati da je i u ovom slučaju reducirana Planckova konstanta jednaka nuli.

3) Sada pogledajmo slučaj u kojemu su operatori Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{p}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{q}} definirani na gustom potprostoru Hilbertovog prostora. Naime, ako je barem jedan operator neograničen, pročetna relacija je zadovoljena. Čitatelj može vrlo lako dokazati ovu tvrdnju korištenjem iduće relacije: Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [\hat{p},\hat{q}^n]=-in\hbar\hat{q}^{n-1}} Ova relacija se može dokazati uz pomoć matematičke indukcije.

Izvori

[1] Reed, Michael and Simon, Barry: Methods of Mathematical Physics, Volume 1: Functional Analysis. Academic Press, 1980. See Section III.5.

[2] Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society.