Legendreov simbol

Legendreov simbol je matematička oznaka koja se koristi u teoriji brojeva pri proučavanju kvadratnih ostataka.

Simbol je uveo znameniti francuski matematičar Adrien-Marie Legendre davne 1798., kada je pokušao dokazati Gaussov kvadratni zakon reciprociteta. Zanimljivo je da se Jacobijev simbol, odnosno poopćenje Legendreovog simbola na bilo koji neparni broj, javlja nešto kasnije.

Legendreov simbol zapisujemo kao [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right) }[/math]. Vrijednosti koje poprima su [math]\displaystyle{ 1, -1, 0 }[/math], ovisno o cijelom broju [math]\displaystyle{ a }[/math] i neparnom prostom broju [math]\displaystyle{ p }[/math] te o tome je li [math]\displaystyle{ a }[/math] kvadratni ostatak moudulo p ili nije.

Preciznije,

[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{ako je } a \text{ kvadratni ostatak modulo } p, \\ -1 & \text{ako je } a \text{ kvadratni neostatak modulo } p, \\ 0 & \text{ako je } a \equiv 0 \pmod p. \end{cases} }[/math]

U svojim je radovima Legendre definirao simbol na ovaj način:[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p \quad \text{ te } \quad\left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,0,1\}. }[/math] No, prema Eulerovom kriteriju ove dvije definicije su posve ekvivalentne.

Osnovna svojstva

• Legendreov simbol je periodičan u gornjem argumentu: ako je a ≡ b (mod p), tada je

  [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right). }[/math]

• Legendreov simbol je multiplikativna funkcija svojega gornjeg argumenta:

  [math]\displaystyle{ \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right). }[/math]

Na ovo se nadovezuje i čitav niz svojstava vezanih i uz gore spomenutu kvadratnu recipročnost.