Korijen (funkcija)
n-ti korijen danog realnog broja x (aritmetički korijen) je broj koji pomnožen sam sa sobom n puta daje x. Takav se i zapisuje kao [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{x} }[/math]. Računska operacija kojom nalazimo korijen od nekog broja naziva se korjenovanje.[1]:157 Dakle, primjerice, neka je
- [math]\displaystyle{ y = \sqrt[n]{x} }[/math]
Tada vrijedi i:
- [math]\displaystyle{ y^n = x }[/math]
- [math]\displaystyle{ y = x^{\frac{1}{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \sqrt[\frac{1}{n}]{y} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \log_y{x} = n }[/math]
U izrazu [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math] prirodni broj [math]\displaystyle{ n }[/math] se naziva eksponent ili stupanj korijena, a broj [math]\displaystyle{ a }[/math] naziva se radikand (lat. radix znači korijen).[1]:157
Najčešće se koristi kvadratni (drugi) korijen, koji se obično zapisuje bez eksponenta ([math]\displaystyle{ \sqrt[2]{7} = \sqrt{7} }[/math]). Također se često koristi i kubni (treći) korijen.
Na skupu realnih brojeva, korijeni s parnim eksponentom (drugi, četvrti, šesti itd.) realni su samo za nulu i pozitivne brojeve. Kod negativnih brojeva određivanje parnog korijena zahtijeva uvođenje imaginarne jedinice (v. kompleksni brojevi).
U algebri se definicija korijena proširuje i na eksponente koji nisu cijeli, pa i na kompleksne brojeve. Međutim, korijen kompleksnog broja ne može se jedinstveno definirati kao niti njegov logaritam.
Drugi korijen
Kada se pozitivan broj kvadrira, dobije se pozitivan broj. Kada se negativan broj kvadrira, dobije se opet pozitivan broj.
- [math]\displaystyle{ {\begin{aligned} 2 \cdot 2 = 4\\ (-2) \cdot (-2) = 4 \end{aligned}} }[/math]
Međutim, krivo je iz toga izvesti ideju da drugi korijen ima dva rješenja. Jedno pozitivno, a drugo negativno. Drugi korijen ima isključivo jedno nenegativno rješenje. Isto vrijedi i za sve ostale parne korijene.
Krivo je:
- [math]\displaystyle{ {\begin{aligned} x^2 &= 4\\ x &= \sqrt{4}\\ x &= \pm 2 \end{aligned}} }[/math]
Ispravno je:
- [math]\displaystyle{ {\begin{aligned} x^2 &= 4\\ x &= \pm\sqrt{4}\\ x &= \pm 2 \end{aligned}} }[/math]
Jer vrijedi:
- [math]\displaystyle{ {\begin{aligned} \sqrt{4}&=2\\ \sqrt{4}&\neq-2 \end{aligned}} }[/math]
Neka svojstva
Za realne m, n ≠ 0 i x, y ≥ 0:
- [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}\quad\quad(y\neq0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[\frac{m}{n}]{x} = x^\frac{n}{m} }[/math]