Koalgebra
[math]\displaystyle{ k }[/math]-koalgebra (sinonim: kogebra) je par [math]\displaystyle{ (C,\Delta) }[/math] u kojem je [math]\displaystyle{ C }[/math] vektorski prostor nad poljem [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ \Delta : C\to C\otimes_k C }[/math] kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da [math]\displaystyle{ (\Delta\otimes_k id_C)\circ\Delta = (id_C\otimes_k\Delta)\circ\Delta }[/math], a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) [math]\displaystyle{ k }[/math]-linearno preslikavanje [math]\displaystyle{ \epsilon: C\to k }[/math], koje zovemo kojedinicom koalgebre [math]\displaystyle{ (C,\Delta) }[/math], i koje zadovoljava uvjet [math]\displaystyle{ (\epsilon\otimes_k id_C)\circ\Delta \cong id_C \cong (id_C\otimes_k\epsilon)\circ\Delta }[/math]. U posljednjem identitetu [math]\displaystyle{ \cong }[/math] označava jednakost preslikavanja do na identifikacije [math]\displaystyle{ k\otimes C\cong C\cong C\otimes_k k }[/math]. Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku [math]\displaystyle{ (C,\Delta,\epsilon) }[/math], no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.
Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je [math]\displaystyle{ k }[/math] komutativni prsten s jedinicom, a [math]\displaystyle{ C }[/math] je [math]\displaystyle{ k }[/math]-modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom [math]\displaystyle{ (A,\otimes,1) }[/math]. U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji [math]\displaystyle{ (A,\otimes,1) }[/math] često se rabi termin (unutarnji) komonoid u [math]\displaystyle{ (A,\otimes,1) }[/math]. Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.
Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Hopfa i Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea[1]. U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.
Izvori
- ↑ Milnor, John W.; Moore, John C. (1965), "On the structure of Hopf algebras", Annals of Mathematics 81 (2): 211–264, doi:10.2307/1970615, JSTOR 1970615, MR 0174052, https://doi.org/10.2307/1970615