Koalgebra

$k$-koalgebra (sinonim: kogebra) je par $(C,\Delta )$ u kojem je $C$ vektorski prostor nad poljem $k$ i $\Delta :C\to C\otimes _{k}C$ kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da $(\Delta \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta =(id_{C}\otimes _{k}\Delta )\circ \Delta$, a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) $k$-linearno preslikavanje $\epsilon :C\to k$, koje zovemo kojedinicom koalgebre $(C,\Delta )$, i koje zadovoljava uvjet Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\epsilon\otimes_k id_C)\circ\Delta \cong id_C \cong (id_C\otimes_k\epsilon)\circ\Delta} . U posljednjem identitetu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cong} označava jednakost preslikavanja do na identifikacije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\otimes C\cong C\cong C\otimes_k k} . Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (C,\Delta,\epsilon)} , no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.

Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} komutativni prsten s jedinicom, a Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A,\otimes,1)} . U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji $(A,\otimes ,1)$ često se rabi termin (unutarnji) komonoid u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A,\otimes,1)} . Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.

Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Hopfa i Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea. U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.

Vanjske poveznice

• https://ncatlab.org/nlab/show/coalgebra