Jednadžba difuzije

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

Jednadžba

Difuzijska jednadžba je definirana kao

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\phi,\mathbf{r}) \ \nabla\phi(\mathbf{r},t) \big], }[/math]

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točki r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ako koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ako je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[D_{ij}(\phi,\mathbf{r})\frac{\partial \phi(\mathbf{r},t)}{\partial x_j}\right] }[/math]

Ako je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\mathbf{r},t). }[/math]

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

[math]\displaystyle{ \phi(\mathbf{r},t | x_{0}, r_{0}) = \frac{1 }{ \sqrt{4 \pi D (t - t_{0})} } e^{- { \frac{(x - x_{0})^2 }{ 4 D (t - t_{0})^2} } } }[/math]

Gdje su [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] i [math]\displaystyle{ t_{0} }[/math] početne vrijednosti pozicije i vremena.

Izvod

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0, }[/math]

S Fickovim prvim zakonom

[math]\displaystyle{ \mathbf{j}=-D(\phi,\mathbf{r})\,\nabla\phi(\mathbf{r},t). }[/math]

koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

Vidi još

• Difuzija
• Statistička mehanika
• Markovljev lanac