Toggle menu
309,3 tis.
61
18
533,2 tis.
Hrvatska internetska enciklopedija
Toggle preferences menu
Toggle personal menu
Niste prijavljeni
Your IP address will be publicly visible if you make any edits.

Jednadžba difuzije

Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

Jednadžba

Difuzijska jednadžba je definirana kao

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točki r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ako koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ako je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

Ako je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

Gdje su i početne vrijednosti pozicije i vremena. [1]

Izvod

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

S Fickovim prvim zakonom

koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

Izvori

  1. Sunko, Denis. Statisticka fizika i termodinamika (2016), bilješke autorovih predavanja iz kolegija Statistička fizike, str. 156

Vidi još