Integriranje pomoću Eulerove formule

Integracija pomoću Eulerove formule metoda je rješavanja integrala trigonometrijskih funkcija koje pomoću Eulerove formule pretvaramo u integrale eksponencijalnih funkcija. Ova metoda je često jednostavnija i brža u odnosu na metodu parcijalne integracije ili korištenje trigonometrijskih identiteta u svrhu pojednostavljenja integranda.

Eulerova formula

Eulerova formula izražava da je:

[math]\displaystyle{ e^{ix} = \cos x + i\,\sin x. }[/math]

Nadomještajući −x za x nalazimo:

[math]\displaystyle{ e^{-ix} = \cos x - i\,\sin x. }[/math]

Na taj način možemo funkcije sin i cos prikazati kao:

[math]\displaystyle{ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\quad\text{i}\quad\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}. }[/math]

Primjer 1

Razmotrimo integral:

[math]\displaystyle{ \int \cos^2 x \, dx. }[/math]

Standardan način rješavanja bio bi prikaz cos²x u obliku (1+cos2x)/2, a u namjeri da se pojednostavi integrand. Ukoliko se, međutim, koristi Eulerova formula, nalazimo:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int \cos^2 x \, dx \,&=\, \int \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2 dx \\[6pt] &=\, \frac{1}{4}\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx \end{align} }[/math]

Na ovom mjestu postoji mogućnost povrata u područje realnih brojeva koristeći pri tome jednakost: e^2ix + e^−2ix = 2 cos 2x.

Međutim, postoji i mogućnost integracije eksponencijalne funkcije s imaginarnim eksponentima i transformacija u područje trigonometrijskih funkcija iza integracije:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{4}\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx \,&=\, \frac{1}{4}\left(\frac{e^{2ix}}{2i} + 2x - \frac{e^{-2ix}}{2i}\right)+C \\[6pt] &=\, \frac{1}{4}\left(2x + \sin 2x\right) +C \end{align} }[/math]

Ovo je, naravno, jednostavan primjer gdje i nije bilo teško primijeniti uobičajenu zamjenu trigonometrijskim identitetom. U prilikama gdje zamjena nije evidentna, upotreba Eulerove formule može biti od očite prednosti.

Primjer 2

Razmotrimo integral:

[math]\displaystyle{ \int \sin^2 x \cos 4x \, dx. }[/math]

Ovdje bi nalaženje trigonometrijskog identiteta koji bi pojednostavio integrand bilo izrazito teška. Koristeći, međutim, Eulerovu formula, nalazimo:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int \sin^2 x \cos 4x \, dx \, &=\, \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right) dx \\[6pt] &=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right) dx \\[6pt] &=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{6ix} - 2e^{4ix} + e^{2ix} + e^{-2ix} - 2e^{-4ix} + e^{-6ix}\right) dx. \end{align} }[/math]

Na ovom mjestu možemo provesti neposrednu integraciju ili najprije transformirati izraz u područje trigonometrijskih funkcija pa tek tada provesti integraciju. Oba načina na kraju daju:

[math]\displaystyle{ \int \sin^2 x \cos 4x \, dx \,=\, -\frac{1}{24}\sin 6x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{8}\sin 2x + C. }[/math]

Korištenje realnog dijela Eulerove formule

Razmotrimo integral:

[math]\displaystyle{ \int e^x \cos x \, dx. }[/math]

kako je cos x realni dio funkcije e^ix, znamo da je:

[math]\displaystyle{ \int e^x \cos x \, dx \,=\, \operatorname{Re}\int e^x e^{ix}\, dx. }[/math]

Integral na desnoj strani jednakosti lako je vrednovati:

[math]\displaystyle{ \int e^x e^{ix} \, dx \,=\, \int e^{(1+i)x}\,dx \,=\, \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} + C. }[/math]

Na taj način možemo zapisati, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int e^x \cos x \, dx \,&=\, \operatorname{Re}\left\{\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right\} + C \\[6pt] &=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}}{1+i}\right\} +C \\[6pt] &=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right\} +C \\[6pt] &=\, e^x\,\frac{\cos x + \sin x}{2} +C. \end{align} }[/math]

Racionalni izrazi

Ova metoda se može općenito koristiti pri vrednovanju bilo kojeg izraza koji uključuje trigonometrijske funkcije. Na primjer, razmotrimo integral:

[math]\displaystyle{ \int \frac{1+\cos^2 x}{\cos x + \cos 3x} \, dx. }[/math]

Primjenjujući Eulerovu formula, ovaj integral postaje

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{6 + e^{2ix} + e^{-2ix} }{e^{ix} + e^{-ix} + e^{3ix} + e^{-3ix}} \, dx. }[/math]

Primijenimo li sada supstituciju: u = e^ix, nalazimo integral racionalne funkcije:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{6 + u^2 + u^{-2}}{u + u^{-1} + u^3 + u^{-3}}\,\frac{du}{iu} \,=\, \frac{1}{2i}\int \frac{1+6u^2 + u^4}{1 + u^2 + u^4 + u^6}\,du. }[/math]

U tom smislu je svaka racionalna funkcija integrabilna uz primjenu parcijalnih razlomaka u integraciji, gdje na taj način možemo integrirati bilo koji racionalni izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije.