Gram-Schmidtov postupak

Gram-Schmidtov postupak je metoda u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći. Uzmimo na primjer vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rⁿ baze {v₁, v₂, ... ,v_n}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {v_i} u ortonormiranu bazu, {u_i}. Prvo normaliziramo v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Nakon toga izračunavamo w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, pa normaliziramo w₂: u₂=w₂/||w₂||

Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ i u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Vektori {u₁, ... ,v_n} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora Rⁿ.

Primjer

Uzmimo sljedeći skup vektora u Rⁿ (sa uobičajenim skalarnim produktom)

$S=\left\lbrace \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace .$

Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

$\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{({3 \atop 1})}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}.$

Provjerimo vektore u₁ i u₂ kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:

$\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.$

Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim duljinama:

Prvi koraci Gram-Schmidtovog postupka.

$\mathbf {e} _{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$\mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.$