Dirichletov teorem je jedan od najvažnijih rezultata u teoriji brojeva, a izniče u njenoj disciplini pod nazivom diofantske aproksimacije, nazvane po starogrčkom matematičaru Diofantu.
Iskaz teorema glasi ovako.
- Ako su
realni brojevi i
, tada postoje cijeli brojevi
takvi da vrijedi
te
.[1]
Oznaka
predstavlja udaljenost od
do njemu najbližeg cijelog broja. Dakle, općenito vrijedi
gdje je
razlomljeni dio od
.
Ovaj je teorem prvi dokazao njemački matematičar Dirichlet još 1842. godine.
Motivacija
Jedno od glavnih pitanja diofantskih aproksimacija je naći racionalan broj
koji dobro aproksimira zadani iracionalni broj
.
Osnovni postupak koji bismo mogli učiniti je da lociramo između koja dva prirodna broja se nalazi iracionalan broj
. Jasno je da su ta dva tražena prirodna broja
pa se
očito nalazi u segmentu
.
No, ovo je prilično gruba aproksimacija. Za bolju, dijelit ćemo segment
na sve više dijelova, tj. podintervala. Recimo da smo
podijelili na točno
jednakih dijelova.
Pitamo se koji je od racionalnih brojeva
najbliži broju
. Neka je to
.
Očigledno je onda
jer je svaki podsegment duljine
pa
mora biti udaljen od rubne točke podsegmenta u kojem pripada za manje od polovice njegove duljine. Valja uočiti da treba biti stroga nejednakost jer
ne može biti udaljen od
za točno pola duljine posegmenta, odnosno
, jer je
iracionalan.[2]
Vidimo da ovime birajući broj
generiramo točno jedan
tako da je
.
No, ovo nije naročito dobra aproksimacija. Na primjer, ako želimo da bude
trebamo za nazivnik uzeti čak
da bi ova aproksimacija uspjela.
Dirichletov će nam teorem dati puno bolje aproksimacije,
, ali za manje parova
. Naime, želimo li da bude
, Dirchletov teorem kaže da će postojati barem jedan broj
za koji će ta aproksimacija uspjeti i to za nazivnike
manje ili jednake
Dokazat ćemo Dirichletov teorem u ekvivalentnom (skaliranom) obliku,
dakle
Pomoćna lema
Primjer i dokaz
Uzmimo
.
Dakle, želimo dokazati da među brojevima u skupu
postoji barem jedan koji je udaljen od nekog cijelog broja za manje od
.
Jasno je da je dovoljno promatrati razlomljene (decimalne) dijelove brojeva u skupu
U tu svrhu, promotrimo skup
Kako su svi članovi skupa
u segmentu
, podijelimo taj segment na 100 podintervala.
Dobivamo
Prema Dirichletovom principu je očito da barem dva broja (ili više)
iz
pripadaju istom podintervalu.
Prema tome, postoje barem dva
takvi da je
.
Prema pomoćnoj lemi slijedi da na udaljenosti
od broja
postoji
.
Kako je
stavimo
. (Postojanje brojeva
očito dokazuje postojanje broja
)
Ovime smo dokazali da postoje
takvi da je
Zbog toga što je
slijedi
. Zato vrijedi
Evidentno je da, uz to, mora biti
Slično, ako je pak
očito je
pa teorem vrijedi i u tom slučaju.
Jasno je da je nejednakost
ekvivalentna s
čime smo pokazali Dirichletov teorem u aproksimacijskom obliku sličnom uvodnom primjeru.
Analogno se pokazuje za bilo koji
a onda očito i za
.
Zanimljivosti
Dirichlet je u svome dokazu ovog teorema, po prvi puta koristio elementarnu i jednu od najvažnijih metoda u kombinatorici, poznatu pod nazivom Dirichletov princip (u nas još poznatu kao princip kutija ili pak u stranoj literaturi kao “princip pretinaca” i “princip golubinjaka”),
koja upravo zato nosi njegovo ime.[4]
Izvori