Cassinijev identitet
Cassinijev identitet je jednakost u elementarnoj teoriji brojeva koja povezuje uzastopnu trojku Fibonaccijevog niza.
Identitet je 1680. otkrio poznati talijanski matematičar Giovanni Domenico Cassini (1635. – 1712.), a dokazao ga je škotski matematičar Robert Simson (1687. – 1768.) i to 1753. godine.
Podsjetimo se da Fibonaccijev niz glasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... U tom je nizu svaki član, počevši od trećeg, suma svoja dva neposredna prethodnika. Dakle, vrijedi [math]\displaystyle{ F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1}, n \geq 2. }[/math]
Cassinijev identitet tvrdi:
- [math]\displaystyle{ F_{n + 1}F_{n - 1} = F_nF_n + (- 1)^n, n \geq 2. }[/math][1]
Ono što se uočava prvo je da vrijedi [math]\displaystyle{ F_{n + 1} \gt F_n, F_{n -1} \lt F_n }[/math] pa vidimo da Cassinijev identitet opisuje svojevrsnu "ravnotežu" među ova dva umnoška. Ipak, nije odmah očito da se [math]\displaystyle{ F_{n + 1}F_{n - 1}, F_nF_n }[/math] razlikuju točno za 1 pa ćemo ovaj teorem ispod i dokazati.
Dokaz
Ovaj se identitet lako može dokazati metodom matematičke indukcije pa ćemo to na ovom mjestu i učiniti.
Vidimo da, u ovisnosti o parnosti broja [math]\displaystyle{ n }[/math], izraz [math]\displaystyle{ (- 1)^n }[/math] u formuli redom varira: [math]\displaystyle{ -1, +1, -1, +1, ... }[/math]
Provjerimo sada identitet za prvu trojku [math]\displaystyle{ (1, 1, 2). }[/math] Zaista, vrijedi [math]\displaystyle{ 2 \cdot 1 = 1 \cdot 1 + 1. }[/math] Prema tome, [math]\displaystyle{ F_{n + 1}F_{n - 1} = F_nF_n - 1 }[/math] (1) vrijedi za barem jedan broj, [math]\displaystyle{ n = 2. }[/math]
Sada prijeđimo na iduću trojku te konstruirajmo dva umnoška, [math]\displaystyle{ p_1 = F_{n + 2}F_{n + 1} }[/math] te [math]\displaystyle{ p_2 = F_{n + 1}F_{n + 1} + 1, }[/math] dokazat ćemo da su jednaka.
Slijedi niz jednostavnih jednakosti (transformacija): [math]\displaystyle{ p_1 = (F_n + F_{n + 1})F_n = F_nF_n + F_nF_{n + 1}. }[/math] Sada koristimo (1): [math]\displaystyle{ p_1 = F_{n + 1}F_{n - 1} - 1 + F_nF_{n + 1} }[/math] i konačno dobivamo [math]\displaystyle{ p_1 = F_{n + 1}(F_{n - 1} + F_n) - 1, }[/math] odnosno [math]\displaystyle{ p_1 = F_{n + 1}F_{n + 1} - 1 }[/math] što upravo daje [math]\displaystyle{ p_2. }[/math]
Za sada smo dokazali Cassinijev identitet polovično, a barem za dvije trojke: [math]\displaystyle{ (1, 1, 2) }[/math] te [math]\displaystyle{ (1, 2, 3). }[/math] Dakle, nije očito da iz [math]\displaystyle{ -1 }[/math] u [math]\displaystyle{ +1 }[/math] opet ciklički slijedi [math]\displaystyle{ -1. }[/math] Ako to dokažemo, postupak će se ciklički ponavljati i bit ćemo gotovi.
Zato uzmimo iduću trojku [math]\displaystyle{ (F_{n + 3}, F_{n + 1}, F_n). }[/math] Slično kao i prije, konstruirajmo dva umnoška [math]\displaystyle{ q_1 = F_{n + 3}F_{n + 1}, q_2 = F_{n + 2}F_{n + 2} + 1. }[/math] Opet, slijedi niz jednakosti: [math]\displaystyle{ q_1 = (F_{n + 1} + F_{n + 2})F_{n + 1} = F_{n + 1}F_{n + 1} + F_{n + 1}F_{n + 2}. }[/math] Sada dobivamo [math]\displaystyle{ q_2 = F_{n + 2}F_n + 1 + F_{n + 1}F_{n + 2} }[/math] pa je konačno [math]\displaystyle{ q_1 = F_{n + 2}(F_{n} + F_{n + 1}) = q_2, }[/math] što je i trebalo pokazati.