Cassinijev identitet
Cassinijev identitet je jednakost u elementarnoj teoriji brojeva koja povezuje uzastopnu trojku Fibonaccijevog niza.
Identitet je 1680. otkrio poznati talijanski matematičar Giovanni Domenico Cassini (1635. – 1712.), a dokazao ga je škotski matematičar Robert Simson (1687. – 1768.) i to 1753. godine.
Podsjetimo se da Fibonaccijev niz glasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... U tom je nizu svaki član, počevši od trećeg, suma svoja dva neposredna prethodnika. Dakle, vrijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n + 1} = F_n + F_{n - 1}, n \geq 2.}
Cassinijev identitet tvrdi:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n + 1}F_{n - 1} = F_nF_n + (- 1)^n, n \geq 2.} [1]
Ono što se uočava prvo je da vrijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n + 1} > F_n, F_{n -1} < F_n} pa vidimo da Cassinijev identitet opisuje svojevrsnu "ravnotežu" među ova dva umnoška. Ipak, nije odmah očito da se Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n + 1}F_{n - 1}, F_nF_n} razlikuju točno za 1 pa ćemo ovaj teorem ispod i dokazati.
Dokaz
Ovaj se identitet lako može dokazati metodom matematičke indukcije pa ćemo to na ovom mjestu i učiniti.
Vidimo da, u ovisnosti o parnosti broja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , izraz Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (- 1)^n} u formuli redom varira: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -1,+1,-1,+1,...}
Provjerimo sada identitet za prvu trojku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1, 1, 2).} Zaista, vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2\cdot 1=1\cdot 1+1.} Prema tome, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n + 1}F_{n - 1} = F_nF_n - 1} (1) vrijedi za barem jedan broj, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 2.}
Sada prijeđimo na iduću trojku te konstruirajmo dva umnoška, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1 = F_{n + 2}F_{n + 1} } te Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle p_{2}=F_{n+1}F_{n+1}+1,} dokazat ćemo da su jednaka.
Slijedi niz jednostavnih jednakosti (transformacija): Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1 = (F_n + F_{n + 1})F_n = F_nF_n + F_nF_{n + 1}.} Sada koristimo (1): Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1 = F_{n + 1}F_{n - 1} - 1 + F_nF_{n + 1}} i konačno dobivamo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1 = F_{n + 1}(F_{n - 1} + F_n) - 1,} odnosno Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle p_{1}=F_{n+1}F_{n+1}-1} što upravo daje Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_2.}
Za sada smo dokazali Cassinijev identitet polovično, a barem za dvije trojke: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (1,1,2)} te Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1, 2, 3).} Dakle, nije očito da iz Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +1} opet ciklički slijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1.} Ako to dokažemo, postupak će se ciklički ponavljati i bit ćemo gotovi.
Zato uzmimo iduću trojku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F_{n + 3}, F_{n + 1}, F_n).} Slično kao i prije, konstruirajmo dva umnoška Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle q_{1}=F_{n+3}F_{n+1},q_{2}=F_{n+2}F_{n+2}+1.} Opet, slijedi niz jednakosti: Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_1 = (F_{n + 1} + F_{n + 2})F_{n + 1} = F_{n + 1}F_{n + 1} + F_{n + 1}F_{n + 2}.} Sada dobivamo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_2 = F_{n + 2}F_n + 1 + F_{n + 1}F_{n + 2}} pa je konačno Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_1 = F_{n + 2}(F_{n} + F_{n + 1}) = q_2,} što je i trebalo pokazati.