Bikvadratna i simetrična jednadžba

Bikvadratna i simetrična jednadžba su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.

Bikvadratna jednadžba

Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: x⁴ = t² i x² = t ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba:

[math]\displaystyle{ x^4-13x^2+36=0. \, }[/math]

Supstitucijom: x⁴ = t² i x² = t nalazimo novu jednadžbu:

[math]\displaystyle{ t^2-13t+36=0, \, }[/math]

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo:

[math]\displaystyle{ t_1=9, t_2=4 \, }[/math]

gdje su tada rješenja zadane jednadžbe:

[math]\displaystyle{ x_1=+3, x_2=-3, x_3=+2, x_4=-2 . \, }[/math]

Primjer 2

Zadana je jednadžba:

[math]\displaystyle{ x^6 -19x^3-216=0. \, }[/math]

Supstitucijom: x⁶ = t² te x³ = t nalazimo novu jednadžbu:

[math]\displaystyle{ t^2 -19t-216=0. \, }[/math]

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja: [math]\displaystyle{ t_1=27, t_2=-8 \, }[/math] odn. rješenja početne jednadžbe: [math]\displaystyle{ x_1=+3, x_2=-2 . \, }[/math]

Simetrična jednadžba

Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu. Zadana je jednadžba:

[math]\displaystyle{ x^4+2x^3-6x^2+2x+1=0. \, }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^4+2x^3-6x^2+2x+1& = 0 /:(x^2) \\ x^2+2x-6+2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}& = 0 \\ (x^2 +\frac{1}{x^2})+ 2(x+ \frac{1}{x})-6& = 0/(Supstitucija:x+\frac{1}{x}=t, x^2 +\frac{1}{x^2}=t^2-2) \\ t^2-2 +2t-6& = 0 \\ t^2+2t-8&=0 \end{align} }[/math]

Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:

[math]\displaystyle{ t_1=+2, t_2=-4. \, }[/math]

Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:

[math]\displaystyle{ a) x+ \frac{1}{x} =2 \, }[/math]

[math]\displaystyle{ b) x+ \frac{1}{x}=-4\, }[/math]

Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:

[math]\displaystyle{ x^2-2x+1=0 \, }[/math]

i prva dva rješenja:

[math]\displaystyle{ x_1=x_2= 1, \, }[/math]

a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:

[math]\displaystyle{ x^2+4x+1=0 . \, }[/math]

i druga dva rješenja:

[math]\displaystyle{ x_3 = 2+ \sqrt3, x_4 = 2-\sqrt3 . \, }[/math]

Literatura

• Gusić J., Mladinić P.,Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.