Bikvadratna i simetrična jednadžba

Bikvadratna i simetrična jednadžba su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.

Bikvadratna jednadžba

Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: x⁴ = t² i x² = t ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba:

$x^{4}-13x^{2}+36=0.\,$

Supstitucijom: x⁴ = t² i x² = t nalazimo novu jednadžbu:

$t^{2}-13t+36=0,\,$

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo:

$t_{1}=9,t_{2}=4\,$

gdje su tada rješenja zadane jednadžbe:

$x_{1}=+3,x_{2}=-3,x_{3}=+2,x_{4}=-2.\,$

Primjer 2

Zadana je jednadžba:

$x^{6}-19x^{3}-216=0.\,$

Supstitucijom: x⁶ = t² te x³ = t nalazimo novu jednadžbu:

$t^{2}-19t-216=0.\,$

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja: $t_{1}=27,t_{2}=-8\,$ odn. rješenja početne jednadžbe: $x_{1}=+3,x_{2}=-2.\,$

Simetrična jednadžba

Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu. Zadana je jednadžba:

$x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1=0.\,$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

${\begin{aligned}x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1&=0/:(x^{2})\\x^{2}+2x-6+2{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}&=0\\(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+2(x+{\frac {1}{x}})-6&=0/(Supstitucija:x+{\frac {1}{x}}=t,x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=t^{2}-2)\\t^{2}-2+2t-6&=0\\t^{2}+2t-8&=0\end{aligned}}$

Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:

$t_{1}=+2,t_{2}=-4.\,$

Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:

$a)x+{\frac {1}{x}}=2\,$

$b)x+{\frac {1}{x}}=-4\,$

Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:

$x^{2}-2x+1=0\,$

i prva dva rješenja:

$x_{1}=x_{2}=1,\,$

a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:

$x^{2}+4x+1=0.\,$

i druga dva rješenja:

$x_{3}=2+{\sqrt {3}},x_{4}=2-{\sqrt {3}}.\,$

Literatura

• Gusić J., Mladinić P.,Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.