Baza (linearna algebra)
Baza nekog vektorskog prostora [math]\displaystyle{ V }[/math] nad poljem [math]\displaystyle{ K }[/math] je uređeni skup međusobno linearno nezavisnih i nenul vektora [math]\displaystyle{ e = \{e_1, e_2, ..., e_n\}, }[/math] čijim se linearnim kombinacijama mogu jednoznačno predstaviti svi ostali vektori iz [math]\displaystyle{ V }[/math]. Neka je [math]\displaystyle{ a }[/math] jedan takav vektor. Vrijedi:
- [math]\displaystyle{ a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K }[/math]
Odavde slijedi da je ovakav skup također i minimalan, tj. da ne postoji neki drugi skup vektora [math]\displaystyle{ f = \{f_1, f_2, ..., f_m\}, }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ m \lt n }[/math] koji bi također bio baza.
Ako bi pretpostavili da takav skup vektora [math]\displaystyle{ f }[/math] postoji, tada bi se svaki od [math]\displaystyle{ m }[/math] vektora [math]\displaystyle{ f_i }[/math] mogao prikazati kao linearna kombinacija [math]\displaystyle{ n }[/math] vektora iz skupa [math]\displaystyle{ e, }[/math] odnosno
- [math]\displaystyle{ f_i = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, i=1,...,m }[/math]
Rješavanjem tog sustava [math]\displaystyle{ m }[/math] jednadžbi s [math]\displaystyle{ n }[/math] nepoznanica, pri čemu je broj jednadžbi manji od broja nepoznanica, daje parametarska rješenja, što znači da se vektor [math]\displaystyle{ f_i }[/math] ne može jednoznačno prikazati pomoću vektora iz skupa [math]\displaystyle{ e }[/math]. To je pak u kontradikciji s pretpostavkom da je skup [math]\displaystyle{ e }[/math] baza, pa početna pretpostavka da postoji traženi skup [math]\displaystyle{ f }[/math] nije točna.
Kako se u vektorskom prostoru dimenzije [math]\displaystyle{ n }[/math] može predstaviti [math]\displaystyle{ n }[/math] linearno nezavisnih vektora, njegovu bazu mora činiti najmanje [math]\displaystyle{ n }[/math] vektora, što zajedno s gornjim zaključkom o minimalnosti baze daje da baza [math]\displaystyle{ n }[/math]-dimenzionog vektorskog prostora [math]\displaystyle{ V }[/math] ima točno [math]\displaystyle{ n }[/math] vektora.
Kanonska baza
Jedna od baza [math]\displaystyle{ n }[/math]-dimenzionog vektorskog prostora [math]\displaystyle{ V }[/math] se može definirati na sljedeći način:
[math]\displaystyle{ e:= \{e_i = (\underbrace{0,\dots ,0 }_{i-1},1,\underbrace{0,\dots ,0 }_{n-i}), \;\; i=1,\dots ,n \} }[/math]
Ova se baza naziva kanonskom bazom tog prostora, a po definiciji je ortonormirana.
Vidjeti također
Nedovršeni članak Baza (linearna algebra) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.