Metrika (matematika)

Metrika ili razdaljinska funkcija je matematička formalizacija intuitivnog geometrijskog koncepta udaljenosti dviju točaka.

Definicija

Uređen par $(X,d)$ nepraznog skupa $X$ i funkcije $d:X\times X\to \mathbb {R}$ naziva se metrički prostor, a funkcija $d$ razdaljinska funkcija ili metrika na $X$ ako su ispunjeni ovi uvjeti:

• $d(x,y)\geq 0,\forall x,y\in X$
• $d(x,y)=0\iff x=y$
• $d(x,y)=d(y,x),\forall x,y\in X$
• $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),\forall x,y,z\in X$

Primjeri

Jedna od metrika na $\mathbb {R} ^{n}$ dana je formulom:

$d(P,Q)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}}}$

gdje je $P=(x_{1},...,x_{n}),Q=(y_{1},...,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$. Za $n=1$ i točke $P(a),Q(b)\in \mathbb {R}$ dobiva se $d(P,Q)=|a-b|$, za $n=2$ i točke $P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ metrika prelazi u udaljenost dviju točaka u ravnini, tj. $d(P,Q)={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$. Treba napomenuti da je metrika svaka funkcija koja zadovoljava gornja četiri uvjeta, bez obzira da li se u posebnim slučajevima poklapa s pojmom udaljenosti.

Primjer metrike na $\mathbb {C} ^{n}$ dan je formulom:

$d(x,y)={\sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2}+...+|x_{n}-y_{n}|^{2}}}$

gdje su $x_{k},y_{k},k=1,2,...,n\in \mathbb {N}$ koordinate dvaju točaka iz $\mathbb {C} ^{n}$.

Na skupu $C[a,b]$ svih realnih (kompleksnih) funkcija neprekidnih na segmentu $[a,b]$ jedna od metrika definirana je s:

$d(f,g)={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)-g(t)|^{2}dt}}$

gdje su $f,g\in C[a,b]$.