-koalgebra (sinonim: kogebra) je par u kojem je vektorski prostor nad poljem i kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da , a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) -linearno preslikavanje , koje zovemo kojedinicom koalgebre , i koje zadovoljava uvjet . U posljednjem identitetu označava jednakost preslikavanja do na identifikacije . Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku , no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.
Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je komutativni prsten s jedinicom, a je -modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom . U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji često se rabi termin (unutarnji) komonoid u . Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.
Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Hopfa i Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea[1]. U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.
Izvori
- ↑ Milnor, John W.; Moore, John C. (1965), "On the structure of Hopf algebras", Annals of Mathematics 81 (2): 211–264, doi:10.2307/1970615, JSTOR 1970615, MR 0174052, https://doi.org/10.2307/1970615