Divergencija polja

U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.

Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.

Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.

Definicija

Divergencija polja F u točki x je granična vrijednost toka polja kroz plohu S_i podijeljenog volumenom V_i kako se volumeni sažimaju prema samoj točki.

Divergencija vektorskog polja $\mathbf {F}$ u točki $\mathbf {x}$ definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije $\mathbf {F}$, divergencija je

$\mathrm {div} \mathbf {F} |_{\mathbf {x} }\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,\lim _{V\rightarrow 0}{\tfrac {1}{V}}\int _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$.

Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku $\mathbf {x}$, a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.

Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je $\operatorname {div} \mathbf {F} >0$ nazivaju se izvorima, a točke gdje je $\operatorname {div} \mathbf {F} <0$ ponorima polja.

Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.

Gaussov teorem

Za divergenciju vektorskog polja $\mathbf {F}$ vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,

$\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\int _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

Tok polja F kroz infinitezimalno malenu zatvorenu plohu unutar koje je točka (x₀,y₀,z₀).

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.

Tok polja $\mathbf {F} ={\hat {x}}F_{x}+{\hat {y}}F_{y}+{\hat {z}}F_{z}$ kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će

$\int _{S_{yz}}\mathbf {F} (x_{0}+{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\cdot {\hat {x}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\int _{S_{yz}}F_{x}(x_{0}+{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$

dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti

$\int _{S_{yz}}\mathbf {F} (x_{0}-{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\cdot (-{\hat {x}})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=-\int _{S_{yz}}F_{x}(x_{0}-{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

Ovdje S_yz označava sljedeće granice integracije po osima y i z: $|y-y_{0}|\leq {\tfrac {1}{2}}\Delta y$, $|z-z_{0}|\leq {\tfrac {1}{2}}\Delta z$.

Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s

$\,\,\int \limits _{S_{yz}}\underbrace {{\Bigl [}F_{x}(x_{0}+{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)-F_{x}(x_{0}-{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z){\Bigr ]}} _{{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\cdot \Delta x}dy\,dz$.

U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand ${\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\Delta x$ ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je

${\frac {\partial F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x}}\Delta x\Delta y\Delta z$.

Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.

$\Phi _{\Delta V}(\mathbf {F} )=\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\cdot \Delta V.$

Prema definiciji, divergencija u točki $(x_{0},y_{0},z_{0})$ bit će

$\operatorname {div} \mathbf {F} |_{(x_{0},y_{0},z_{0})}={\frac {\partial F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial z}}.$

I općenito, u bilo kojoj točki $(x,y,z)$

$\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot ({\hat {x}}F_{x}+{\hat {y}}F_{y}+{\hat {z}}F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

• u cilindričnom koordinatnom sustavu:

$\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}};$

• u sfernom koordinatnom sustavu:

$\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(F_{\vartheta }\sin \vartheta )+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.$

Svojstva operatora divergencije

Za dana vektorska polja ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}}$, skalar $U$, skalarnu funkciju $f(U)$ i vektor položaja ${\vec {r}}$ vrijedi:

1. $\operatorname {div} ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\operatorname {div} {\vec {u}}+\operatorname {div} {\vec {v}}$
2. $\operatorname {div} (U\cdot {\vec {v}})=U\cdot \operatorname {div} {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} U$
3. $\operatorname {div} [f(U)\cdot {\vec {v}}]=f(U)\cdot \operatorname {div} {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot f_{U}^{'}(U)\cdot \operatorname {grad} U$
4. $\operatorname {div} {\vec {r}}=3.$

Primjer

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}$

iznosi

${\operatorname {div} {\vec {E}}=\operatorname {div} \left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}\right){\stackrel {(2.)}{=}}{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}\cdot \operatorname {div} {\vec {r}}+{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\vec {r}}\cdot \operatorname {grad} {\frac {1}{r^{3}}}{\stackrel {(4.)}{=}}{\frac {3q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}+{\frac {3q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\vec {r}}{\frac {(-1)}{r^{5}}}{\vec {r}}=0}$

u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Tok vektorskog polja
• Gradijent skalarnog polja
• Rotacija vektorskog polja
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama