Kvaternion

U matematici, kvaternioni su algebarsko proširenje kompleksnih brojeva. Za razliku od kompleksnih brojeva, kvaternioni imaju tri imaginarne jedinice, koje se označavaju sa i, j i k i za koje vrijedi:

$\ i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

Ova relacija je definicija imaginarnih jedinica kvaterniona.

Za razliku od kompleksnih i realnih brojeva, množenje kvaterniona nije komutativno i vrijedi:

$\ ij=-ji=k$

$\ jk=-kj=i$

$\ ki=-ik=j$

Skup kvaterniona se označava sa $\mathbb {H}$ u čast irskom matematičaru Williamu Rowanu Hamiltonu, koji ih je prvi formulirao.

Definicija

U trodimenzionalnom prostoru, jedinični vektori triju dimenzija zapisuju se pomoću kvaterniona.

Kvaternion $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$, sastoji se od skalarnog dijela a i vektorskog dijela (kvaternion $b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$).

Prostorne matematičke operacije

Konjugacija

Konjugacija je involucijska inverzna operacija, gdje operacija konugacije izvedena dvaput uzastopno vraća izvorni element. Za original $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$, konjugat q* znosi $q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}$. Konjugat se također može izraziti matematičkim operacijama zbrajanja i množenja, što nije slučaj sa kompleksnim brojevima:

$q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+\,\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\,\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\,\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} )~.$

Operacija konjugacije može se koristiti za dobivanje skalarnog i vektorskog dijela kvaterniona. Skalarni dio dobiva se formulom ${\frac {1}{2}}(p+p^{*})$ dok je vektorski dio jednak ${\frac {1}{2}}(p-p^{*})$.

Modul ili norma

Kvadratni korijen umnoška kvaterniona i njegovog konjugata naziva se modulom ili normom kvaterniona. Modul predstavlja duljinu kvaterniona u prostoru:

$\|q\|={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$

Jedinični kvaternion

Jedinični kvaternion je kvaternion kojemu je modul jednak 1. Operacija podjele kvaterniona i njegovog modula uvijek će dati jedinični kvaternion, još zvan i verzorom tog kvaterniona:

$U_{q}={\frac {q}{\|q\|}}$

Polarne koordinate kvaterniona moguće je zapisati kao umnožak modula (duljine) i jediničnog kvaterniona: $q=\|q\|\cdot U_{q}$.

Recipročni kvaternion moguće je opisati kao količnik konjugata i norme:

$q^{-1}={\frac {q^{*}}{\|q\|}}$

Datoteka:P math.png Nedovršeni članak Kvaternion koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.