Tenzor

U fizici i matematici, tenzor je poopćenje skalara i vektora. Za dani konačnodimenzionalni vektorski prostor $V$ nad poljem $k$ , s dualnim prostorom $V^{*}$ linearnih funkcionala iz $V$ u $k$ . tenzor tipa $(p,q)$ je multilinearno preslikavanje

T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ primjeraka}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ primjeraka}}}\rightarrow k.

Alternativno, tenzor tipa $(p,q)$ je element tenzorskog produkta $V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}:=\underbrace {V\otimes _{k}\dots \otimes _{k}V} _{p{\text{ primjeraka}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes _{k}\dots \otimes _{k}V^{*}} _{q{\text{ primjeraka}}}$ odgovarajućeg broja primjeraka vektorskog prostora i njegovog duala.

Ako je zadana baza $e_{1},\dots ,e_{n}$ vektorskog prostora $V$ , tada kovektori $e^{*1},\ldots ,e^{*n}\in V^{*}$ čine bazu dualnog prostora, a vektori $e_{i_{1}}\otimes \dots \otimes e_{i_{p}}\otimes e_{j_{1}}\otimes \dots \otimes e_{j_{q}}$ gdje $i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}\in \{1,\ldots ,n\}$ čine bazu vektorskog prostora $V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}$ koji je dimenzije $n^{p+q}$ . Broj $p+q$ nazivamo i red tenzora. Vektori su dakle tenzori prvog reda, a skalari su tenzori nultog reda.

Kako za konačnodimenzionalne vektorske prostore vrijedi $V^{*}\otimes V\cong End_{k}(V,V)$ to se tenzori tipa $(1,1)$ poistovjećuju s linearnim operatorima i u zadanoj bazi opisuju kvadratnom matricom. Često se tenzor tipa $(p,q)$ može odrediti kao $p+q$ -dimenzionalna hiperkubna matrica brojeva (elemenata u polju) koji se s obzirom na promjenu koordinata među vektorima ponašaju na određeni način. Te brojeve zovemo komponentama tenzora u danoj bazi. U terminima multilinearnih funkcionala, komponente tenzora $T$ tipa $(p,q)$ su brojevi $T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}=T(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{p}},e^{*j_{1}},\ldots ,e^{*j_{q}})$ .

Naime kod promjene baze $f_{i'}=\sum _{j=1}^{n}O_{i'}^{j}e_{j}$ dualna baza se mijenja kontragredijentno, $f^{*i'}=\sum _{j=1}^{n}(O^{-1})_{j}^{i'}e^{*j}$ , a komponente tenzora $T$ u novoj bazi su

T_{l_{1}',\ldots ,l_{q}'}^{k_{1}',\ldots ,k_{p}'}=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}O_{i_{1}}^{k_{1}'}\dots O_{i_{1}}^{k_{p}'}(O^{-1})_{l_{1}'}^{j_{1}}\dots (O^{-1})_{l_{q}'}^{j_{q}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}

.

Primjeri tenzora 2. reda u fizici su tenzor inercije u dinamici čvrstog tijela, tenzor polarizacije u optici, tenzor napetosti u teoriji elastičnosti, tenzor energije-impulsa u teoriji polja i Faradayev tenzor u elektrodinamici (u relativističkom formalizmu 4-vektora).

Vidi još

Nedovršeni članak Tenzor koji govori o fizici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.
Nedovršeni članak Tenzor koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.