Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je jedan od osnovnih algebarskih pojmova u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora je nastao apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Primjene su široke uključujući u temeljnim disciplinama kao što su analiza i analitička geometrija. Definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo oznakom ${\vec {0}}$ (ili 0) i zovemo nul-vektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru $\alpha \in F$ i svakom vektoru $x\in V$ pridružuje vektor $\alpha x\in V$, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I) $\alpha (\beta {\vec {v}})=(\alpha \beta ){\vec {v}},\forall \alpha ,\beta \in F,\forall {\vec {v}}\in V$

(II) $\alpha ({\vec {v}}+{\vec {w}})=\alpha {\vec {v}}+\alpha {\vec {w}},\forall \alpha \in F,\forall {\vec {v}},{\vec {w}}\in V$

(III) $(\alpha +\beta ){\vec {v}}=\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {w}},\forall \alpha ,\beta \in F,\forall {\vec {v}}\in V$

(IV) $1{\vec {v}}={\vec {v}},\forall {\vec {v}}\in V$

Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Neka je $S\subset V$ podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor ${\vec {v}}$ linearna kombinacija elemenata od $S$ ako se da napisati u obliku $\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}$ gdje je $k$ prirodni broj (ili nula) i gdje su $v_{1},\ldots ,v_{k}\in S$ i $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in F$. Također možemo reći da je $\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}$ linearna kombinacija vektora $v_{1},\ldots ,v_{k}$. Kažemo da je $W\subset V$ je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz $W$ i sama u $W$. Ako je $S\subset V$ ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska $Span_{F}(S)$ skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz $S$. To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži $S$.

Preslikavanje $L:V\to W$ među skupovima vektora dva vektorska prostora $V$ i $W$ nad istim poljem ili tijelom $F$ zovemo aditivnim ako $L({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=L({\vec {v}}_{1})+L({\vec {v}}_{2})$ za svaka dva vektora $v_{1},v_{2}\in V$, homogenim ako $L(\alpha {\vec {v}})=\alpha L({\vec {v}})$ za sve $\alpha \in F,{\vec {v}}\in V$ i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom (ili linearnom transformacijom) među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator se često i izostavlja.

Ukoliko je F polje, skup A opremljen djelovanjem $A\times V\to A,(a,{\vec {v}})\mapsto t_{\vec {v}}(a)$ (translacija za vektor) Abelove grupe V zovemo afini prostor (nad poljem F) ukoliko je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora ${\vec {v}}\in V$ na točki $a$ označavamo s $t_{\vec {v}}(a)$ ili $a+{\vec {v}}$ i tumači se kao translacija točke $a$ za vektor ${\vec {v}}$.

• Uvjet slobodnosti znači da ako je $a+{\vec {v}}=a$ za neki $a$ tada je ${\vec {v}}={\vec {0}}$.

• Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke $a,b\in A$ postoji vektor ${\vec {v}}\in V$ takav da je $a+{\vec {v}}=b$.
• Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s ${\vec {v}}=b-a$.

To reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka $(a,b)$ (krajevi usmjerene dužine), a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Realni vektorski prostor $V$ opremljen bilinearnom preslikavanjem $\left\langle ,\right\rangle :V\times V\to$ koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačno-dimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačno dimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar aKurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovne gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.