Analitička geometrija

Datoteka:Torus.png

Analitička geometrija je grana geometrije u kojoj se koriste algebarske metode prvenstveno linearne algebre da bi se riješili geometrijski problemi.

Metoda analitičke geometrije se koristi u svim primijenjenim znanostima, ali posebno unutar fizike, npr. za opis putanje planeta. Prvo se je analitička geometrija bavila pitanjima planeta i tzv. euklidskom geometrijom (prostornom geometrijom).

Koordinatni sustav

Datoteka:Cartesien-system.svg

Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sustav.

Analitička geometrija u R²

Koordinatni sustav i transformacije

Sa (x, y) označavaju se početne koordinate a sa (x', y') nove

Paralelno pomjeranje

Ako x₀, y₀ su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x' = x-x_0,\quad y'=y-y_0\,}

Rotacija

Ako se kut rotiranja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni x-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim y-osom) onda su formule za transformaciju:

$x'=x\cos \alpha +y\sin \alpha \quad x=x'\cos \alpha -y'\sin \alpha \,$

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y'=y\cos \alpha -x\sin \alpha \quad y=x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \,}

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost između točaka (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\,}

Površina trokuta

Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃), njihova površina je

$\pm T={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=$

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ={\frac {1}{2}}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]\,}

Da bi T bilo pozitivno, moraju točke (x₁,y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

Dijeljenje udaljenosti

Ako se udaljenost između točaka (x₁, y₁) och (x₂, y₂), dijeli u odnosu na m/n koordinate će biti:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}\,}

Koeficijent kuta pravca

Neka $\alpha$ je kut koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (x₁, y₁) i (x₂,y₂) onda je oeficijent kuta pravca:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}};\quad x_{1}\neq x_{2}\,}

Jednadžba pravca

Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po x i y i opća formula je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ax+By+C=0\,}

Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=a\,}

znači pravac paralelan s y-osom i

$y=b\,$

pracac paralelan s är en linje parallell med x-osom.

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=k\,x\,}

je pracac kroz koordinatni početak.

k-formula

Pravac se može napisati i u obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=k\,x+m\,}

ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B är različit od nule. Ovdje je k koeficijent kuta pravca

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = -\frac{A}{B},\quad m = -\frac{C}{B}\,}

i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.

Presjek

Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca x-ose i y-ose i pišu se

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1}

gdje a je x-koordinata za točku presjeka pravca s x-osom a b je y-koordinata za točku presjeka pravca s y-osom ili

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B}\,}

Standardni oblik

Datoteka:Line-normal-form.svg

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,}

je standardni oblik pravca. Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} och m bestäms ur

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}}

Znak kvadratnog korijena se bira tako da m bude pozitivno.

m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} je kut te normale s x-osom.

Udaljenost točke od pravca

Pravac napisan u standardom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,}

Onda je udaljenost točke P s koordinatama (x₁,y₁):

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=\pm (x_1\cos\alpha + y_1\sin\alpha-m)\,}

gdje se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.

Formula pravca kroz jednu točku

Jednadžba za pravac kroz točku (x₁, y₁) s kutnim koeficijentom k je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y-y_1=k(x-x_1)\,}

Formula pravca kroz dvije točke

Jednadžba za pravac kroz točke (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\,}

Kut između dva pravca

Ako su koeficijenti kuta pravca k₁ i k₂ kut između pravaca izračunava se kao:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\beta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\,}

Krivulje u ravni

Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u eksplicitnom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(x)\,}

u implicitnom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y)=0\,}

ili u parametarskom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)\,}

U polarnim koordinatama Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r, \psi)} jednadžba krivulje je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=f(\psi)\,}

ili

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(r, \psi)=0\,}

Tangenta

Pogreška pri izradbi sličice:

Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u točki dodira:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\frac{dy}{dx}=\frac{d\,f(x)}{dx}\,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,\quad\text{(implicitan oblik)}}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\frac{y'(t)}{x'(t)}\,\quad\text{(parametarski oblik)}}

Asimptote

S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krivulje y = f(x) piše pomoću jednadžbe y = kx + m, onda se k i m određuju prema:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\,}

Analitička geometrija u R³

Koordinatni sustav u R³

Koordinatni sustav

Koordinatni sustav u R³ koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju x-, y- i z-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravnina, yz-ravnina i xz-ravnina.

Pravokutne koordinate

Kosinus smjera

Datoteka:Riktningscosiner.svg

Koordinate točke P' (x, y, z) su okomita udaljenost do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\,\beta,\,\gamma\,} kutovi između vektora položaja duljine r i os onda je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=r\cos\alpha,\quad y=r\cos\beta,\quad z=r\cos\gamma}

gdje

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\alpha,\, \cos\beta,\, \cos\gamma}

su kosinusi smjera označeni sa a, b i c za koje vrijedi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 = 1\,}

Kut između dva pravca

Ako imamo dva pravca, OA₁ sa kosinusima smjera a₁, b₁ i c₁ i OA₂ sa kosinusima smjera a₂, b₂ i c₂, onda vrijedi za kut Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} između OA₁ i OA₂:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\theta=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\,}

Rotacija koordinatnog sustava

S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u xyz-osi označenim

za x'-os sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a', b', c')\,}

za y'-os sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a'', b'', c'')\,}

za z'-os sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a''', b''', c''')\,}

biće transformacije

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x&=a'x'+b'y'+c'z'\\ y&=a''z'+b''y'+c''z'\\ z&=a'''x'+b'''y'+c'''z' \end{align} \begin{align}\qquad x'&=a'x+a''y+a'''z\\ y'&=b'x+b''y+b'''z\\ z'&=c'x+c''y+c'''z \end{align} }

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost d između točaka (x₁, y₁, z₁) i (x₂, y₂, z₂) je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\,}

Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=\frac{x_2-x_1}{d},\quad b=\frac{y_2-y_1}{d},\quad c=\frac{z_2-z_1}{d},\,}

Ravnina u R³

Pogreška pri izradbi sličice:

Ako je (x₀, y₀, z₀) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (A, B, C) je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao skalrarni proizvod okimitog vektora i vektora (x - x₀, y - y₀, z - z₀):

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (A,B,C)(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0\,}

što daje generalni oblik jednadžbe ravni kao

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}

gdje je D

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})\,}

Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

${\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\,$

Znak pred korijenom se izabire tako da je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {D}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}}\,} uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

Okomiti oblik

Dijeljenjem sa

$\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}\,$

dobijemo jednadžbu ravni u okomitom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p\,}

gdje suObrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } kutevi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

Vektorski oblik

Datoteka:Plane-definition.svg

Jednadžba ravni s okomitim vektorom n, datom točkom r₀ i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku (x, y, z) u ravnini je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\mathbf {n} =0\,}

Udaljenost točke od ravnine

Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\,$

a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe sa predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače sa predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine

$x+2y-2z+6=0\,$

Jednadžba ravnine u okomitom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {x+2y-2z+6}{-3}}=0;\quad d={\frac {1-3\cdot 2-2\cdot 2+6}{-3}}=1\,}

Kut između dvije ravnine

Kut Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \omega } između dvije ravnine

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\,}

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\,$

izračunava se pomoću jednadžbe

Datoteka:Plane-angle.svg

$\cos \omega ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}\,$

Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cos \omega ={\frac {\mathbf {n} _{1}\mathbf {n} _{2}}{|\mathbf {n} _{1}||\mathbf {n} _{2}|}}\,}

Pravac

Datoteka:IntersectingPlanes.png

Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\,}

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\,$

Pravac se može napisati pomoću točke P = (x₀, y₀, z₀) na pravcu i vektora pravca u:

Datoteka:Line in vector form,R3.svg

U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (x, y, z) na pravoj liniji:

$(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+\lambda (a,b,c)\,$

ili

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=x_{0}+a\lambda \,}

$y=y_{0}+b\lambda \,$

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z=z_{0}+c\lambda \,}

gdje su a, b i c koeficijenti pravca, ili poslije eliminiranja parametara

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}\,}

U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+t\mathbf {u} \,$

Krive linije u R³

Kriva linija u R³ može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0\quad F_{2}(x,y,z)=0\,}

U parametarskom obliku:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=x(t)\quad y=y(t)\quad z=z(t)\,}

U vektorskom obliku:

$\mathbf {r} =x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \,$

Primjer:

Datoteka:Skruvlinje.svg

Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=r\cos(t)\quad y=r\sin(t)\quad z=k t\,}

Dužina luka

Dužina luka na krivoj liniji je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\,}

Dužina luka između t₀ i t je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=\int_{t_0}^{t}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt\,}

Tangenta

Jednadžba tangente u vektorskom obliku je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{t}=\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+\lambda\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0\,}

Okomita ravan

Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki s je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbf{r}-\mathbf{r_0})\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right)_0=0\,}

Dodirna ravnina

U točki na krivoj liniji u R³ može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva dodirna ravnina i ima jednadžbu

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\,}

gdje se A, B i C izračunavaju iz formula

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=y'(s)z''(s) - z'(s)y''(s)\,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B=z'(s)x''(s) - x'(s)z''(s)\,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C=x'(s)y''(s) - y'(s)x''(s)\,}

ili u vektorksom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\left(\frac{d\mathbf{r}}{ds}\times\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0=0\,}

Glavna okomica

Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva glavna okomica. Njen pravac je isti kao i pravac vektora

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right)_0\,}

Dužina ovog vektora se naziva krivina K, a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=\left|\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right|_0=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2y}{ds^2}\right)_0^2+\left(\frac{d^2z}{ds^2}\right)_0^2}\,}

Površine u R³

Površina u R³ može se napisati u parametarskom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x(u,v)\,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=y(u,v)\,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=z(u,v)\,}

ili u vektorskom obliku

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\,}

Jednadžba se može također dati kao

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y,z)=0\,}

ili

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=f(x,y)\,}

U ovom drugom slučaju x i y se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x&=u\\ y&=v\\ z&=f(u,v) \,\end{align}}

Linijski element

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} d\mathbf{r}^2 &=ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 =\\ &=\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\right]dx^2+2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}dx\,dy+\left[1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\right]dy^2\, \end{align}}

Jednadžba tangente ravnine

Ako je jednadžba površine

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y,z)=0\,}

može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki (x₀, y₀, z₀):

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-x_0)F_{x_0}'+(y-y_0)F_{y_0}'+(z-z_0)F_{z_0}'=0\,}

ili u vektorskom obliku kao

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\text{grad}\,F)_0=0\,}

Jednadžba okomice na površinu

Ako je jednadžba površine

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y,z)=0\,}

onda vrijedi za okomicu površine u točki (x₀, y₀, z₀):

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x-x_0}{F_{x_0}'}=\frac{y-y_0}{F_{y_0}'}=\frac{z-z_0}{F_{z_0}'}\,}

ili

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}-\mathbf{r}_0=\lambda(\text{grad}\,F)_0\,}