Skalarni umnožak dva vektora je definiran kao umnožak iznosa (modula, duljine, intenziteta) prvog i drugog vektora i kosinusa kuta između njih. Dobiveni je rezultat skalar .
a
→
⋅
b
→
=
b
→
⋅
a
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
cos
ϕ
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi }
Skalarni umnožak vektora sa samim sobom daje kvadrat njegovog iznosa, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1 . Skalarni umnožak vektora koji su pod pravim kutom (90° ) jednak je 0 , jer je kosinus pravog kuta 0 .
Skalarni umnožak je komutativan , distributivan i linearan .
Definicija i primjer [ uredi ] Definicija skalarnog umnoška vektora a = [a 1 , a 2 , … , a n b = [b 1 , b 2 , … , b n
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
gdje Σ označuje zbrajanje po komponentama. Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1] :
[
1
3
−
5
]
⋅
[
4
−
2
−
1
]
=
(
1
)
(
4
)
+
(
3
)
(
−
2
)
+
(
−
5
)
(
−
1
)
=
3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.}
Geometrijska interpretacija [ uredi ] S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa kutom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i kut.
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,}
⟹
{\displaystyle \Longrightarrow }
θ
=
arccos
(
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
)
.
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right).}
Vidjeti također [ uredi ] 
