Osnovni teorem o racionalnim nultočkama

Osnovni teorem o racionalnim nultočkama je jedan od temeljnih teorema u algebri.

Tvrdi da ako su $p,q$ relativno prosti brojevi i ako je ${\frac {p}{q}}$ jedna nultočka polinoma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ s cjelobrojnim koeficijentima $a_{n},a_{n-1},...,a_{0}\in \mathbb {Z} ,a_{n},a_{0}\neq 0,$ tada $p\vert a_{0}$ te $q\vert a_{n}$.

Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je $q=1$, tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku $p\in \mathbb {Z}$ jer tada će očito $p$ dijeliti slobodni član $a_{0}$, a uvjet $q\vert a_{n}$ trivijalno je zadovoljen.

Dokaz

Neka imamo polinom $P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$ s koeficijentima $a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .$ Pretpostavimo da je ${\frac {p}{q}}$ nultočka polinoma $P(x)$, tj. da je $P({\frac {p}{q}})=0$ za neka dva relativno prosta broja $p,q\in \mathbb {Z}$.

Dakle, vrijedi

$P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.$

Pomnožimo obje strane jednakosti s $q^{n}$. Dobivamo

$a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.$

Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:

$p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.$

Dakle, $p$ dijeli $a_{0}q^{n}$. No, kako su $p,q$ relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i $p,q^{n}$ također relativno prosti što znači da mora biti $p\vert a_{0}$.

Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik

$q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.$

Analogno slijedi $q\vert a_{n}$, što je i trebalo pokazati.