Metoda parcijalne integracije

Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija
Inačica 381525 od 10. prosinca 2021. u 08:47 koju je unio WikiSysop (razgovor | doprinosi) (Bot: Automatski unos stranica)
(razl) ←Starija inačica | vidi trenutačnu inačicu (razl) | Novija inačica→ (razl)
Skoči na:orijentacija, traži

Metoda parcijalne integracije je postupak u matematici u kojemu se integral koji se ne može izračunati svodi na integral koji može.

Neodređeni integral

Formula za parcijalnu integraciju se izvodi iz formule za derivaciju produkta funkcija [math]\displaystyle{ (uv)' = u'v + uv' }[/math], koja se može zapisati kao

[math]\displaystyle{ \int uv' dx = uv - \int u'v dx }[/math]

što predstavlja formulu za parcijalnu integraciju.[1]:str. 308.

Funkcije [math]\displaystyle{ u }[/math] i [math]\displaystyle{ v }[/math] moraju biti izabrane tako da je integral s desne strane jednakosti moguće lakše izračunati nego početni. Treba imati na umu da će se u postupku morati izračunati i pomoćni integral

[math]\displaystyle{ \int v' dx }[/math].

Kao jednostavan primjer može poslužiti integral

[math]\displaystyle{ \int xe^x dx }[/math]

koji se izračunava parcijalnom integracijom stavljanjem [math]\displaystyle{ u = x }[/math] i [math]\displaystyle{ v' = e^x }[/math].

Određeni integral

Neka je [math]\displaystyle{ u : [a, b] \to \mathbb{R} }[/math] neprekidna funkcija, i [math]\displaystyle{ v : [a, b] \to \mathbb{R} }[/math] neprekidno diferencijabilna funkcija. Ako je [math]\displaystyle{ U }[/math] primitivna od [math]\displaystyle{ u }[/math] tada je formula za parcijalnu integraciju:[2]

[math]\displaystyle{ \int_a^b u(x)v(x)dx = U(b)v(b) - U(a)v(a) - \int_a^b U(x)v'(x)dx }[/math]

Izvori

  1. Elezović, Neven: Matematika 4 : udžbenik za IV. razred gimnazije, 2. izd., Element, Zagreb, 2000.
  2. [1], Integration by parts. Encyclopedia of Mathematics., (pristupljeno 23. kolovoza 2020.)