Teorem o ekstremnim vrijednostima

U diferencijalnom računu, teorem o ekstremnim vrijednostima tvrdi da, ako je realna funkcija f neprekidna na ograničenom segmentu [a, b], onda ona mora dosegnuti maksimum i minimum, svaki barem jednom. To jest, postoje brojevi c i d u [a, b] takvi da:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(c) \geq f(x) \geq f(d), \forall x \in [a, b]} .

Srodni teorem je teorem o ograničenosti koji kaže da je neprekidna funkcija f na segmentu [a, b] ograničena na tom segmentu. To jest, postoje realni brojevi m i M takvi da:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m < f(x) < M, \forall x \in [a, b]} .

Teorem o ekstremnim vrijednostima obogaćuje teorem o ograničenosti govoreći da ne samo da je funkcija ograničena, nego u isto vrijeme dostiže svoju najmanju gornju među kao svoj maksimum i najveću donju među kao svoj minimum.

Teorem o ekstremnim vrijednostima se upotrebljava u dokazu Rolleovog teorema. U formulaciji od Karla Weierstrassa, taj teorem tvrdi da neprekidna funkcija iz nepraznog kompaktnog prostora u podskup realnih brojeva dostiže maksimum i minimum.

Povijest

Teorem o ekstremnim vrijednostima je originalno dokazao Bernard Bolzano u 1830-ima u djelu Teorija funkcija ali je djelo ostalo neobjavljeno sve do 1930. Bolzanov dokaz sastojao se u pokazivanju da je neprekidna funkcija na segmentu ograničena, i tada da funkcija dostiže svoj minimum i maksimum. U oba dokaza se pojavljuje teorem koji je danas poznat pod nazivom Bolzano-Weierstrassov teorem (Rusknock i Kerr-Lawson 2005). Taj rezultat je otkrio kasnije Weierstrass u 1860.

Funkcije na koje se teorem ne može primijeniti

Sljedeći primjeri pokazuju zašto domena funkcije mora biti ograničeni segment da bi se teorem primijenio. Svaka od njih ne dostiže maksimum na danom intervalu.

• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = x} definirana na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, \infty)} nije ograničena odozgo.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = x/(1 + x)} definirana na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, \infty)} je ograničena ali ne dostiže svoju najmanju gornju među 1.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = 1/x} definirana na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0, 1]} nije ograničena odozgo.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = 1 - x} definirana na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0, 1]} je ograničena ali nikada ne dostiže svoju najmanju gornju među 1.

Definiranjem f(0) = 0 u zadnja dva primjera pokazuje da oba teorema zahtijevaju neprekidnost na [a, b].

Generalizacija na metričke i topološke prostore

U prelasku sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} na općenite metričke i topološke prostore, prikladna generalizacija ograničenog segmenta je kompaktni skup. Skup K je kompaktan ako ima sljedeće svojstvo: iz svake kolekcije otvorenih skupova Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{\alpha}} takve da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K \subset \bigcup U_{\alpha}} , konačna podkolekcija Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{\alpha_{1}}, ..., U_{\alpha_{n}}} može biti izabrana tako da Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K \subset \bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i}} . To se naziva Heine-Borel svojstvo, i obično se izriče u kratko kao "svaki otvoreni pokrivač od K ima konačni podpokrivač." Heine-Borel teorem tvrdi da je podskup realnih brojeva kompaktan ako i samo ako je i zatvoren i ograničen.

Koncept neprekidne funkcije također se može poopćiti. Neka su dani topološki prostori V, W, funkcija Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: V \mapsto W} je neprekidna ako je za svaki otvoreni skup Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subset W} , Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}(U) \subset V} također otvoren. S obzirom na te definicije, može se pokazati da neprekidna funkcija čuva kompaktnost.

Teorem. Ako su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V, W} topološki prostori, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:V\mapsto W} neprekidna funkcija, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K \subset V} je kompaktan, tada je i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(K) \subset W} isto kompaktan.

Posebno, ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W = \mathbb{R}} tada taj teorem implicira da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(K)} zatvoren i ograničen za svaki kompaktni skup Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} , što opet implicira da Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} dostiže svoj supremum i infimum na svakom (nepraznom) kompaktnom skupu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} . Prema tome, imamo sljedeću generalizaciju teorema o ekstremnoj vrijednosti:

Teorem Ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} kompaktni skup i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: K \mapsto \mathbb{R}} neprekidna funkcija, tada je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} ograničena i postoje Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p, q \in K} takvi da Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(p)=\sup_{x \in K}f(x)} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(q) = \inf_{x \in K}f(x)} .