Uvećanje leće

Uvećanje slike se može ostvariti povećalom.

Datoteka:Jednadžba optičke leće.pdf

Skica uz jednadžbu optičke leće.

Datoteka:Leće 5.png

Konstrukcija slike kod povećala.

Datoteka:Leće 4.png

Konstrukcija slike kod sabirne leće.

Datoteka:Leće 6.png

Konstrukcija slike kog rastresne leće.

Žarište F i žarišna daljina f sabirne i rastresne leće te udubljenog i ispupčenog zrcala.

Uvećanje leće ili povećanje leće m je količnik udaljenosti slike b i predmeta a:

[math]\displaystyle{ m = - \frac{b}{a} }[/math]

minusom se naglašava suprotna orijentacija slike i predmeta (obrnuta slika). Iz gornjeg izraza razabiremo da povećanje ovisi o udaljenosti predmeta od leće. Što je udaljenost predmeta od leće manja, veće je povećanje slike. Međutim, povećanje ovisi također i o žarišnoj daljini. Što je žarišna daljina veća, veća je udaljenost slike, a time je i veće povećanje. Prema tome, leće veće žarišne daljine daju i veće stvarne (realne) slike.

Jednadžba optičke leće

Jednadžba leće povezuje položaj slike s položajem predmeta u odnosu na leću. U Gaussovoj aproksimaciji jednadžba glasi:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} }[/math]

gdje su a i b udaljenosti predmeta i slike od središta leće, a f je žarišna daljina leće. Udaljenost predmeta je uvijek pozitivna, a udaljenost slike može biti pozitivna (kad je slika stvarna ili realna) i negativna (kad je slika prividna ili virtualna). Jednadžba leće vrijedi samo za tanke leće (kojima je debljina u usporedbi s promjerom mala) i za zrake svjetlosti koje se prelamaju u neposrednoj blizini optičke osi leće. U realnim se uvjetima pri nastanku slike prolaskom svjetlosti kroz leću pojavljuju aberacije.

Objašnjenje

Uzmimo debelu bikonveksnu leću kojoj su O₁ i O₂ središta zakrivljenosti njezinih sfernih ploha, a r₁ i r₂ polumjeri zakrivljenosti. Iz točkastog izvora B pada zraka svjetlosti na leću u točku A₁. Djelić te plohe na koju pada zraka svjetlosti može se smatrati djelićem ravnine koja se podudara s tangencijalnom ravninom na tu plohu. Zraka svjetlosti prolazeći kroz leću lomi se u točki A₁ prema okomici O₂A₁, a u točki A₂ od okomice O₁A₂. Lom se zbiva na isti način kao kad bismo dio leće kod A₁ i A₂ zamijenili prizmom lomnog kuta ρ. Ako je leća vrlo tanka, onda oba loma možemo spojiti zajedno tako da leću zamijenimo ravninom. U tom slučaju projekcije M₁ i M₂ točaka A₁ i A₂ padaju zajedno u točku M. Devijacija zrake, prolazom kroz leću, iznosi:

[math]\displaystyle{ \delta = \alpha_1 + \alpha_2 }[/math]

Kako zraka prolazi kroz leću kao kroz prizmu, to je iz trokuta O₁O₂A vanjski kut (lomni kut):

[math]\displaystyle{ \rho = \beta_1 + \beta_2 }[/math]

a devijacija kroz prizmu:

[math]\displaystyle{ \delta = (n - 1)\cdot \rho = (n - 1)\cdot (\beta_1 + \beta_2) }[/math]

odnosno:

[math]\displaystyle{ \alpha_1 + \alpha_2 = (n - 1) \cdot (\beta_1 + \beta_2) }[/math]

Budući da su α₁, α₂, β₁ i β₂ vrlo mali kutovi, to možemo uzeti da je:

[math]\displaystyle{ \alpha_1 = \tan \alpha_1 = \frac{m}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha_2 = \tan \alpha_2 = \frac{m}{b} }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta_1 = \sin \beta_1 = \frac{m}{r_1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta_2 = \sin \beta_2 = \frac{m}{r_2} }[/math]

gdje je: a - udaljenost predmeta od leće, b - udaljenost slike od leće. Uvrstimo li ove vrijednosti u gornji izraz, dobivamo:

[math]\displaystyle{ \frac{m}{a} + \frac{m}{b} = (n - 1) \cdot (\frac{m}{r_1} + \frac{m}{r_2}) }[/math]

skraćivanjem jednadžbe sa m dobivamo:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \cdot (\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}) }[/math]

To je jednadžba tanke bikonveksne leće. Ako je a = ∞, to jest izvor svjetlosti nalazi se u neizmjernoj daljini, onda je 1/a = 0, pa je b = f, a gornja jednadžba prelazi u:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{f} = (n - 1) \cdot (\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}) }[/math]

gdje je:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} }[/math]

Zbroj recipročnih udaljenosti predmeta i slike od leće jednak je recipročnoj vrijednosti žarišne daljine.

Kod simetrične bikonveksne leće r₁ = r₂ = r, pa njenu žarišnu daljinu dobijemo iz izraza:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{f} = 2 \cdot \frac{n -1}{r} }[/math]

Kod plankonveksne leće je r₂ = ∞, 1/r₂ = 0, pa izlazi, da je:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{f} = \frac{n -1}{r} }[/math]

Konveksne leće imaju pozitivnu, a konkavne negativnu žarišnu daljinu. Jednadžbu konkavne leće dobijemo iz jednadžbe konveksne leće ako uzmemo polumjere zakrivljenosti s negativnim predznacima. Prema tome je jednadžba leće:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = (n - 1) \cdot (- \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}) }[/math]

odnosno:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = - (n - 1) \cdot (\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}) = - \frac{1}{f} }[/math]

Žarišna daljina

Podrobniji članak o temi: Žarišna duljina

Žarišna daljina, žarišna duljina ili žarišna udaljenost je udaljenost između središta leće i žarišta, ovisi o obliku leće i o tvari od koje je leća napravljena:

[math]\displaystyle{ f = \frac{1}{\frac{n_2 - n_1}{n_1} \cdot (\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2})} }[/math]

gdje su r₁ i r₂ polumjeri zakrivljenosti leće (negativni ako je površina leće konkavna, beskonačni ako je površina leće ravna), n₁ indeks loma optičkoga sredstva u kojem se leća nalazi, n₂ indeks loma optičkoga sredstva od kojeg je leća načinjena. Žarišna udaljenost konvergentnih leća je pozitivna, a žarišna udaljenost divergentnih leća je negativna.

Jakost leće

Podrobniji članak o temi: Jakost leće

Jakost leće j je recipročna vrijednost žarišne udaljenosti f:

[math]\displaystyle{ j = \frac{1}{f} }[/math]

Leća to jače lomi zrake što ima manju žarišnu daljinu. Zastarjela mjerna jedinica za jakost leće je 1 dioptrija, a danas je to 1/m ili m^-1. Leća ima jakost od 1 dioptrije ako joj je žarišna daljina 1 metar, odnosno broj dioptrija kazuje koliko se puta žarušna daljina nalazi u 1 metar. Sabirne leće imaju jakost označenu sa plus, a rastresne sa minus. Na primjer ako je žarišna daljina sabirne leće 25 cm = 0,25 m, onda je njena jakost 1/0,25 = + 4 dioptrije. Rastresna leća jakosti - 2 dioptrije ima žarišnu daljinu 1/- 2 = - 0,5 m = - 50 cm, to jest žarište se nalazi 50 cm ispred leće.