Niz
Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa [math]\displaystyle{ \lbrace 1, 2, 3,..., 20\rbrace }[/math] pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Matematička definicija niza
Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju [math]\displaystyle{ f: \mathbb{N} \rightarrow S }[/math] zovemo niz u skupu S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
Niz se, umjesto uobičajene notacije [math]\displaystyle{ f(n)=... }[/math], označava sa [math]\displaystyle{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} }[/math] ili samo [math]\displaystyle{ (a_n)_n }[/math] ili [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math].
Primjeri
Članovi niza zadanog sa [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{n} }[/math] izgledaju ovako: [math]\displaystyle{ (a_n)_1=1,\ (a_n)_2=\frac{1}{2},\ (a_n)_3=\frac{1}{3},\ (a_n)_4=\frac{1}{4},... }[/math]
Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:
[math]\displaystyle{ g(n):\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ g(n) := \begin{cases} n, & \mbox{ako je }n\mbox{ neparan} \\ 0, & \mbox{ako je }n\mbox{ paran} \end{cases} }[/math]
Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] (kodomena je skup [math]\displaystyle{ S=\mathbb{N}_0 }[/math]).
Članovi ovog niza izgledaju ovako: [math]\displaystyle{ 1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,... }[/math]
Važni nizovi
Posebno su važni aritmetički niz i geometrijski niz.
Konvergentni nizovi realnih brojeva
Niz [math]\displaystyle{ a_n }[/math] realnih brojeva konvergira realnom broju [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], ako za svako [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] postoji prirodni broj [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] takav da[1]:str. 67.
- [math]\displaystyle{ (n \gt n_0) \implies (|a_n - a_0| \lt \epsilon) }[/math]
Broj [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] se naziva limes niza [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. Kao primjer niz
- [math]\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n} }[/math]
konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.[1]:str. 69.