Asocijativnost

Asocijativnost u zbrajanju: 2+(1+3) = (2+1)+3

U matematici, asocijativnost je svojstvo koje može imati binarna operacija. Aritmetičke operacije koje imaju svojstvo asocijativnosti su zbrajanje i množenje.

Definicija

Za binarnu operaciju [math]\displaystyle{ \circ : K \times K\to K }[/math] se kaže da je asocijativna nad skupom K ako za svako [math]\displaystyle{ a, b, c\in K }[/math] vrijedi:

[math]\displaystyle{ a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c }[/math]

Iz asocijativnosti operacije [math]\displaystyle{ \circ }[/math] slijedi da u gore navedenim izrazima redoslijed operacija ne igra ulogu, te je i zapis u kojem prioritet nije naznačen jednoznačno određen: [math]\displaystyle{ a \circ b \circ c }[/math]

Primjeri

Neki primjeri asocijativnih operacija:

• U aritmetici, zbrajanje i množenje realnih brojeva, tj.

[math]\displaystyle{ \left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{za sve }x,y,z\in\mathbb{R}. }[/math]

Zagrade možemo izostaviti zbog svojstva asocijativnosti.

• Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva i kvaterniona.

• Funkcije za najveći zajednički djelitelj te najmanji zajednički višekratnik:

[math]\displaystyle{ \left. \begin{matrix} \operatorname{D}(\operatorname{D}(x,y),z)= \operatorname{D}(x,\operatorname{D}(y,z))= \operatorname{D}(x,y,z)\ \quad \\ \operatorname{V}(\operatorname{V}(x,y),z)= \operatorname{V}(x,\operatorname{V}(y,z))= \operatorname{V}(x,y,z)\quad \end{matrix} \right\}\mbox{ za sve }x,y,z\in\mathbb{Z}. }[/math]

• Presjek i unija skupova:

[math]\displaystyle{ \left. \begin{matrix} (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix} \right\}\mbox{za sve skupove }A,B,C. }[/math]

• Množenje matrica.

• Logičke operacije ILI, I, XILI te XNILI.