Analitička geometrija

Datoteka:Torus.png

Analitička geometrija je grana geometrije u kojoj se koriste algebarske metode prvenstveno linearne algebre da bi se riješili geometrijski problemi.

Metoda analitičke geometrije se koristi u svim primijenjenim znanostima, ali posebno unutar fizike, npr. za opis putanje planeta. Prvo se je analitička geometrija bavila pitanjima planeta i tzv. euklidskom geometrijom (prostornom geometrijom).

Koordinatni sustav

Datoteka:Cartesien-system.svg

Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sustava. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sustav.

Analitička geometrija u R²

Koordinatni sustav i transformacije

Sa (x, y) označavaju se početne koordinate a sa (x', y') nove

Paralelno pomjeranje

Ako x₀, y₀ su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vrijedi:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x'=x-x_{0},\quad y'=y-y_{0}\,}

Rotacija

Ako se kut rotiranja $\alpha$ smatra pozitivnim( kut kojim se pozitivni x-os treba pomjerati da bi se podudarii s pozitivnim y-osom) onda su formule za transformaciju:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x'=x\cos \alpha +y\sin \alpha \quad x=x'\cos \alpha -y'\sin \alpha \,}

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y'=y\cos \alpha -x\sin \alpha \quad y=x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \,}

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost između točaka (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je:

${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\,$

Površina trokuta

Ako vrhovi trokuta imaju koordinate (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃), njihova površina je

$\pm T={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=$

$={\frac {1}{2}}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]\,$

Da bi T bilo pozitivno, moraju točke (x₁,y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃) slijediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smjeru kretanja kazaljki na satu.

Dijeljenje udaljenosti

Ako se udaljenost između točaka (x₁, y₁) och (x₂, y₂), dijeli u odnosu na m/n koordinate će biti:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x={\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},\quad y={\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\,}

Koeficijent kuta pravca

Neka $\alpha$ je kut koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz točke (x₁, y₁) i (x₂,y₂) onda je oeficijent kuta pravca:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}};\quad x_{1}\neq x_{2}\,}

Jednadžba pravca

Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po x i y i opća formula je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Ax+By+C=0\,}

Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca.

$x=a\,$

znači pravac paralelan s y-osom i

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=b\,}

pracac paralelan s är en linje parallell med x-osom.

$y=k\,x\,$

je pracac kroz koordinatni početak.

k-formula

Pravac se može napisati i u obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=k\,x+m\,}

ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B är različit od nule. Ovdje je k koeficijent kuta pravca

$k=-{\frac {A}{B}},\quad m=-{\frac {C}{B}}\,$

i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.

Datoteka:Intercept-form.svg

Presjek

Parametri presjecanja su točke presjeka pravaca x-ose i y-ose i pišu se

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}

gdje a je x-koordinata za točku presjeka pravca s x-osom a b je y-koordinata za točku presjeka pravca s y-osom ili

$a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}}\,$

Standardni oblik

Datoteka:Line-normal-form.svg

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0\,}

je standardni oblik pravca. $\alpha$ och m bestäms ur

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m=-{\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \sin \alpha ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

Znak kvadratnog korijena se bira tako da m bude pozitivno.

m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i $\alpha$ je kut te normale s x-osom.

Udaljenost točke od pravca

Pravac napisan u standardom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0\,}

Onda je udaljenost točke P s koordinatama (x₁,y₁):

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle p=\pm (x_{1}\cos \alpha +y_{1}\sin \alpha -m)\,}

gdje se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.

Formula pravca kroz jednu točku

Jednadžba za pravac kroz točku (x₁, y₁) s kutnim koeficijentom k je

$y-y_{1}=k(x-x_{1})\,$

Formula pravca kroz dvije točke

Jednadžba za pravac kroz točke (x₁, y₁) i (x₂, y₂) je

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})\,$

Kut između dva pravca

Ako su koeficijenti kuta pravca k₁ i k₂ kut između pravaca izračunava se kao:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan \beta ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}\,}

Krivulje u ravni

Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.

Jednadžba krivulje se može napisati u eksplicitnom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=f(x)\,}

u implicitnom obliku

$F(x,y)=0\,$

ili u parametarskom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)\,}

U polarnim koordinatama $(r,\psi )$ jednadžba krivulje je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle r=f(\psi )\,}

ili

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(r,\psi )=0\,}

Tangenta

Datoteka:Tangent-2D.svg

Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u točki dodira:

$k={\frac {dy}{dx}}={\frac {d\,f(x)}{dx}}\,$

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle k=-{\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}\,\quad {\text{(implicitan oblik)}}}

$k={\frac {y'(t)}{x'(t)}}\,\quad {\text{(parametarski oblik)}}$

Datoteka:Asymptot.svg

Asimptote

S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krivulje y = f(x) piše pomoću jednadžbe y = kx + m, onda se k i m određuju prema:

$k=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{x}},\quad m=\lim _{x\rightarrow \infty }[f(x)-kx]\,$

Analitička geometrija u R³

Pogreška pri izradbi sličice:

Koordinatni sustav u R³

Koordinatni sustav

Koordinatni sustav u R³ koristi tri ravnine, obično okomite jedna na drugu. Točke presjeka se nazivaju x-, y- i z-os. Ove tri ravnine označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravnina, yz-ravnina i xz-ravnina.

Pravokutne koordinate

Kosinus smjera

Datoteka:Riktningscosiner.svg

Koordinate točke P' (x, y, z) su okomita udaljenost do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,} kutovi između vektora položaja duljine r i os onda je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=r\cos \alpha ,\quad y=r\cos \beta ,\quad z=r\cos \gamma }

gdje

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cos \alpha ,\,\cos \beta ,\,\cos \gamma }

su kosinusi smjera označeni sa a, b i c za koje vrijedi

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}

Kut između dva pravca

Ako imamo dva pravca, OA₁ sa kosinusima smjera a₁, b₁ i c₁ i OA₂ sa kosinusima smjera a₂, b₂ i c₂, onda vrijedi za kut $\theta$ između OA₁ i OA₂:

$\cos \theta =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\,$

Rotacija koordinatnog sustava

S prijelazom iz pravkokutnog koordinatnog sustava (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smjerovima osi i smjerovima kosinusa u xyz-osi označenim

za x'-os sa $(a',b',c')\,$

za y'-os sa $(a'',b'',c'')\,$

za z'-os sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a''', b''', c''')\,}

biće transformacije

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x&=a'x'+b'y'+c'z'\\ y&=a''z'+b''y'+c''z'\\ z&=a'''x'+b'''y'+c'''z' \end{align} \begin{align}\qquad x'&=a'x+a''y+a'''z\\ y'&=b'x+b''y+b'''z\\ z'&=c'x+c''y+c'''z \end{align} }

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost d između točaka (x₁, y₁, z₁) i (x₂, y₂, z₂) je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\,}

Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dvije točke, onda se izračunavaju kao

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=\frac{x_2-x_1}{d},\quad b=\frac{y_2-y_1}{d},\quad c=\frac{z_2-z_1}{d},\,}

Ravnina u R³

Datoteka:Plane-definition-2.svg

Ako je (x₀, y₀, z₀) jedinični vektor do jedne točke u ravnini i (A, B, C) je okomit vektor na ravninu, može se jednadžba ravnine napisati kao skalrarni proizvod okimitog vektora i vektora (x - x₀, y - y₀, z - z₀):

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (A,B,C)(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0\,}

što daje generalni oblik jednadžbe ravni kao

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}

gdje je D

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})\,}

Jednadžba prvog reda predstavlja uvijek ravnunu. Cosinusi pravca za okomicu ravnine su En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\,}

Znak pred korijenom se izabire tako da je

${\frac {D}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}}\,$ uvijek pozitivan. Na taj način je okomica usmjerena prema ravninoj "pozitivnoj" strani.

Okomiti oblik

Dijeljenjem sa

$\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}\,$

dobijemo jednadžbu ravni u okomitom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p\,}

gdje su$\alpha ,\beta ,\gamma$ kutevi koje okomica na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost okomice od koordinatnog početka pa do ravnine.

Vektorski oblik

Datoteka:Plane-definition.svg

Jednadžba ravni s okomitim vektorom n, datom točkom r₀ i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu točku (x, y, z) u ravnini je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\mathbf {n} =0\,}

Udaljenost točke od ravnine

Koordinate točke se pišu u okomitom obliku ravnine

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\,}

a udaljenost je onda jednaka lijevoj strani jednadžbe sa predznakom '-' ako točka i koordinatni početak se nalaze na istoj strani ravnine, inače sa predznakom '+'.

Primjer:

Izračunati udaljenost od točke (1, -3, 2) do ravnine

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x+2y-2z+6=0\,}

Jednadžba ravnine u okomitom obliku

${\frac {x+2y-2z+6}{-3}}=0;\quad d={\frac {1-3\cdot 2-2\cdot 2+6}{-3}}=1\,$

Kut između dvije ravnine

Kut $\omega$ između dvije ravnine

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\,}

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\,$

izračunava se pomoću jednadžbe

Pogreška pri izradbi sličice:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cos \omega ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}\,}

Ako su okomiti vektori na ravninu poznati može se skalarni proizvod okomitih vektora upotrijebiti da bi se izračunao kut između ravnine:

$\cos \omega ={\frac {\mathbf {n} _{1}\mathbf {n} _{2}}{|\mathbf {n} _{1}||\mathbf {n} _{2}|}}\,$

Pravac

Pogreška pri izradbi sličice:

Pravac se može smatrati presjekom između dvije ravnine i može se napisati uz pomoć jednadžbi prvog reda

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\,}

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\,$

Pravac se može napisati pomoću točke P = (x₀, y₀, z₀) na pravcu i vektora pravca u:

Datoteka:Line in vector form,R3.svg

U parametarskom obliku vrijedi za jednu točku (x, y, z) na pravoj liniji:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+\lambda (a,b,c)\,}

ili

$x=x_{0}+a\lambda \,$

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=y_{0}+b\lambda \,}

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z=z_{0}+c\lambda \,}

gdje su a, b i c koeficijenti pravca, ili poslije eliminiranja parametara

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}\,}

U vektorskom obliku jednadžba pravca se može napisati kao

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+t\mathbf {u} \,$

Krive linije u R³

Kriva linija u R³ može nastati na više načina:

Kao presjekk dvije površine:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0\quad F_{2}(x,y,z)=0\,}

U parametarskom obliku:

$x=x(t)\quad y=y(t)\quad z=z(t)\,$

U vektorskom obliku:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {r} =x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \,}

Primjer:

Datoteka:Skruvlinje.svg

Uvrnuta kriva linija se može napisati u parametarskom obliku kao

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=r\cos(t)\quad y=r\sin(t)\quad z=kt\,}

Dužina luka

Dužina luka na krivoj liniji je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,}

Dužina luka između t₀ i t je

$s=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}}dt\,$

Tangenta

Jednadžba tangente u vektorskom obliku je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {t} =\left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\right)_{0},\quad \mathbf {r} =\mathbf {r_{0}} +\lambda \left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\right)_{0}\,}

Okomita ravan

Jednadžba u vektorskom obliku za okomitu ravninu u točki s je

$(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )\left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\right)_{0}=0\,$

Dodirna ravnina

U točki na krivoj liniji u R³ može se općenito dodati nebrojeno mnogo tangentnih ravni krivulji. Tangentna ravnina koja je kao najbliža naslonjena na krivu liniju se naziva dodirna ravnina i ima jednadžbu

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0\,$

gdje se A, B i C izračunavaju iz formula

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A=y'(s)z''(s)-z'(s)y''(s)\,}

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle B=z'(s)x''(s)-x'(s)z''(s)\,}

$C=x'(s)y''(s)-y'(s)x''(s)\,$

ili u vektorksom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\left({\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\times {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right)_{0}=0\,}

Glavna okomica

Okomica krivulje koja leži u dodirnoj ravnini se naziva glavna okomica. Njen pravac je isti kao i pravac vektora

$\left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right)_{0}\,$

Dužina ovog vektora se naziva krivina K, a vektoor se naziva zakrivljenim vektorom:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K=\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}\right|_{0}={\sqrt {\left({\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}+\left({\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}+\left({\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}\right)_{0}^{2}}}\,}

Površine u R³

Površina u R³ može se napisati u parametarskom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x=x(u,v)\,}

$y=y(u,v)\,$

$z=z(u,v)\,$

ili u vektorskom obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)\,}

Jednadžba se može također dati kao

$F(x,y,z)=0\,$

ili

$z=f(x,y)\,$

U ovom drugom slučaju x i y se mogu smatrati paramtrima, a odakle slijedi jednadžba u parametarskom obliku:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}x&=u\\y&=v\\z&=f(u,v)\,\end{aligned}}}

Linijski element

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} ^{2}&=ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\\&=\left[1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}\right]dx^{2}+2{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial z}{\partial y}}dx\,dy+\left[1+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}\right]dy^{2}\,\end{aligned}}}

Jednadžba tangente ravnine

Ako je jednadžba površine

$F(x,y,z)=0\,$

može se jednadžba tangente ravni napisati u dodirnoj točki (x₀, y₀, z₀):

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x-x_{0})F_{x_{0}}'+(y-y_{0})F_{y_{0}}'+(z-z_{0})F_{z_{0}}'=0\,}

ili u vektorskom obliku kao

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})({\text{grad}}\,F)_{0}=0\,}

Jednadžba okomice na površinu

Ako je jednadžba površine

$F(x,y,z)=0\,$

onda vrijedi za okomicu površine u točki (x₀, y₀, z₀):

${\frac {x-x_{0}}{F_{x_{0}}'}}={\frac {y-y_{0}}{F_{y_{0}}'}}={\frac {z-z_{0}}{F_{z_{0}}'}}\,$

ili

$\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}=\lambda ({\text{grad}}\,F)_{0}\,$