Karakteristični polinom

Karakteristični polinom kvadratne matrice A reda n je polinom koji se dobije izračunavanjem determinante karakteristične matrice tI_n-A, gdje je I_n kvadratna jedinična matrica reda n, a t je neodređen.

[math]\displaystyle{ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{tI_{n}-A} = \begin{bmatrix} t-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & t-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & t-a_{nn} \end{bmatrix} }[/math]

Karakteristični polinom je od koristi za izračunavanje nekoliko važnih svojstava matrice, kao što su svojstvene vrijednosti. Nule karakterističnog polinoma su svojstvene vrijednosti matrice.

Primjer

Recimo da želimo izračunati karakteristični polinom matrice

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}. }[/math]

Trebamo izračunati determinantu od

[math]\displaystyle{ t I-A = \begin{pmatrix} t-2&-1\\ 1&t \end{pmatrix} }[/math]

a ona je

[math]\displaystyle{ (t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\! }[/math]

Ovo je karakteristični polinom od A.

Svojstva

Svi realni polinomi neparnog stupnja imaju bar jedan realan broj kao korijen, tako da za neparno n svaka realna matrica ima najmanje jednu svojstvenu vrijednost. Mnogi realni polinomi parnog stupnja nemaju realni korijen, ali osnovni stavak algebre tvrdi da svaki polinom stupnja n ima n kompleksnih korijena.

Slične matrice imaju iste karakteristične polinome. Međutim, dvije matrice koje imaju iste karakteristične polinome ne moraju nužno biti slične. Matrica A i transponirana matrica A^T imaju iste karakteristične polinome.

Cayley-Hamiltonov teorem tvrdi da ako ubacimo A u karakteristični polinom p_A(t) dobivamo nul-matricu:

[math]\displaystyle{ p_A(A)=0 }[/math].

Jednostavno, svaka matrica zadovoljava svoju karakterističnu jednadžbu. Kao posljedicu ovoga, možemo pokazati da minimalni polinom od A dijeli karakteristični polinom od A.