Toggle menu
309,3 tis.
61
18
533,2 tis.
Hrvatska internetska enciklopedija
Toggle preferences menu
Toggle personal menu
Niste prijavljeni
Your IP address will be publicly visible if you make any edits.

Cayley-Hamiltonov teorem

Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

Njen karakteristični polinom je

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

Dokaz

Svaka matrica : ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

To jest u matričnom obliku je:

gdje je : kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :, koja je jednaka:

gdje je : jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice : je jednaka:

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:

Slijedi:

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

Razvijmo sumu u red oblika:

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice :

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

. . . . . . . . .

Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

. . . . . . . . .

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:


Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.

Sadržaj