Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:
- Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.
Promotrimo na primjer matricu
Njen karakteristični polinom je
A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:
Dokaz
Svaka matrica : ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:
To jest u matričnom obliku je:
gdje je : kvadratna matrica.
Definirajmo drugu matricu :, koja je jednaka:
gdje je : jedinična matrica.
Inverzna matrica matrice : je jednaka:
Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:
Slijedi:
Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:
Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:
Razvijmo sumu u red oblika:
Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:
Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice :
Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:
. . . . . . . . .
Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:
. . . . . . . . .
Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:
Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:
Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.