Imaginarni broj

[math]\displaystyle{ \ldots }[/math] (ponavlja uzorak iz plavog područja)

i –3 = i

i –2 = –1

i –1 = –i

i 0 = 1

i 1 = i

i 2 = –1

i 3 = –i

i 4 = 1

i 5 = i

i 6 = –1

i n = i n mod 4 (pogledaj modulus)

U matematici, imaginarni broj je kompleksni broj čiji je kvadrat negativni realni broj. Imaginarni brojevi imaju oblik bi, gdje je b realni broj koji nije jednak nuli, a i je imaginarna jedinica za koju vrijedi:

[math]\displaystyle{ i^2=-1\, }[/math].

Imaginarni broj bi se može zbrojiti s realnim brojem "a", stvarajući kompleksni broj oblika a + bi, kod kojeg je a "realni dio", a b "imaginarni dio". Imaginarni brojevi se dakle mogu smatrati kompleksnim brojevima kod kojih je "realni dio" nula i obrnuto. Sam naziv "imaginarni broj" izmišljen je u 17. stoljeću kao pogrdni naziv, jer su neki smatrali da su ti brojevi nestvarni i neprimjenjivi, no danas se koriste u mnogim znanstvenim, inženjerskim i ostalim područjima.

Povijest

Iako je grčki matematičar i inženjer Heron iz Aleksandrije naveden kao prvi koji je primijetio imaginarne brojeve, Rafael Bombelli je 1572. definirao pravila za množenje ovih brojeva. U to su vrijeme pojedinci smatrali da su imaginarni brojevi nestvarni i nevažni, kao što su nekada smatrali i nula i negativni brojevi. Mnogi drugi matematičari su bili spori u tome da prihvate upotrebu imaginarnih brojeva, kao što je bio René Descartes koji je pogrdno pisao o njima u svom radu La Géométrie. Descartes je bio prvi koji je upotrebio pojam "imaginarni broj" 1637. godine. Međutim, čistu ideju o imaginarnim brojevima je mnogo prije izmislio Gerolazmo Cardano u 16. stoljeću. Ta ideja nije bila široko prihvaćena sve do rada Leonharda Eulera (1707. – 1783.) i Carla Friedrich Gaussa (1777. – 1855.). Prvi koji je shvatio značenje inaginarnih brojeva u geometriji bio je Caspar Wessel (1745. – 1818.).

1843., matematički fizičar William Rowan Hamilton je proširio ideju o osi imaginarnih brojeva u trodimenzionalnom prostoru imaginarnih kvaterniona. Razvojem kvocijenata polinomijalnih prstenova koncept imaginarnoga broja je postao značajniji, dok su se našli i drugi imaginarni brojevi kao j od tesarina čiji je kvadrat +1. Ova ideja je se prvi puta pojavila u člancima James Cocklea 1848-e.

Geometrijska interpretacija

Geometrijski gledano, imaginarni brojevi nalaze se na vertikalnoj osi u kompleksnoj ravnini, što omogućava da budu prezentirani pravokutno na realnu os. Jedan način na koji se mogu shvatiti imaginarni brojevi je da se uzme u obzir standardna brojevna crta, povećavajući se pozitivno prema desnoj strani, i smanjujući negativno prema lijevoj. Kod broja 0 na [math]\displaystyle{ x }[/math]-osi, može se nacrtati [math]\displaystyle{ y }[/math]-os s pozitivnim pravcem prema gore. Pozitivni imaginarni brojevi se povećavaju prema gore, dok se negativni smanjuju prema dolje. Ova vertikalna os se često naziva imaginarna os i označava se kao "[math]\displaystyle{ i\mathbb{R} }[/math]", "[math]\displaystyle{ \mathbb{I} }[/math]" ili jednostavno kao "[math]\displaystyle{ Im }[/math]".

U ovoj reprezentaciji množenje s -1 je jednako rotaciji od 180 stupnjeva u odnosu na ishodište koordinatnog sustava. Množenje s [math]\displaystyle{ i }[/math] jednako je rotaciji od 90 stupnjeva u pozitivnom pravcu (u pravac kazaljke na satu|suprotnom pravcu kazaljke na satu). Jednadžba [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math] se interpretira kao dvije rotacije od 90 stupnjeva u odnosu na koordinatni početak, što je isti rezultat kao jedna rotacija od 180 stupnjeva. Treba zapaziti da rotacija od 90 stupnjeva u negativnom pravcu (pravcu kazaklje na satu) isto zadovoljava ovu interpretaciju. Ovo potvrđuje činjenicu da [math]\displaystyle{ -i }[/math] isto rješava jednadžbu [math]\displaystyle{ x^2 = -1 }[/math].

Primjena imaginarnih brojeva

Imaginarni brojevi koriste se u procesiranju signala, teoriji kontrole, elektromagnetizmu, mehanici fluida, dinamici fluida, kvantnoj mehanici, kartografiji i analizi vibracija. Princip imaginarnog broja opaža se i u izmjeničnoj struji.

Potenciranje imaginarnog broja [math]\displaystyle{ i }[/math]

Potenciranje imaginarnog broja [math]\displaystyle{ i }[/math] kružno se ponavlja. To se može vidjeti u sljedećem primjeru gdje [math]\displaystyle{ n }[/math] predstavlja bilo koji broj:

[math]\displaystyle{ i^{4n} = 1\, }[/math]

[math]\displaystyle{ i^{4n+1} = i\, }[/math]

[math]\displaystyle{ i^{4n+2} = -1\, }[/math]

[math]\displaystyle{ i^{4n+3} = -i.\, }[/math]

Dolazimo do zaključka da je [math]\displaystyle{ i^n = i^{n \bmod 4}\, }[/math].