Razlika između inačica stranice »Lagrangeov teorem (teorija grupa)«
(Bot: Automatski unos stranica) |
m (bnz) |
||
| Redak 1: | Redak 1: | ||
Lagrangeov teorem''' jedan je od temeljnih teorema [[Teorija grupa|teorije grupa]] i kaže da za svaku konačnu [[Grupa (matematika)|grupu]] G, red (broj elemenata) [[Podgrupa|podgrupe]] H od G dijeli red od G. Teorem je dobio ime po [[Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrangeu]]. | |||
== Dokaz Lagrangeovog teorema == | == Dokaz Lagrangeovog teorema == | ||
Dokaz se može provesti koristeći koncept lijevih H-grupa u G. Lijeve H-grupe su klase ekvivalencije relacije ekvivalencije na G pa stoga particioniraju G. Posebno, ''x'' i ''y'' iz G su u relaciji ako i samo ako postoji ''h'' iz ''H'' takav da je ''x = yh''. Ako pokažemo da sve H-grupe imaju jednak broj elemenata onda svaka H-grupa ima točno |''H''| elemenata. Gotovi smo jer je red od ''H'' puta broj H-grupa jednak broju elemenata od ''G'' pa samim time i to da red od ''H'' dijeli red od ''G''. Sada, ako su ''aH'' i ''bH'' dvije desne H-klase onda možemo definirati preslikavanje <math>f:aH\rightarrow{}bH</math> s <math>f(x) = ba^{-1}x</math>. Ovo preslikavanje je [[Bijekcija|bijekcija]] jer je inverz dan s <math>f^{-1}(y)=ab^{-1}y</math>. | Dokaz se može provesti koristeći koncept lijevih H-grupa u G. Lijeve H-grupe su klase ekvivalencije relacije ekvivalencije na G pa stoga particioniraju G. Posebno, ''x'' i ''y'' iz G su u relaciji ako i samo ako postoji ''h'' iz ''H'' takav da je ''x = yh''. Ako pokažemo da sve H-grupe imaju jednak broj elemenata onda svaka H-grupa ima točno |''H''| elemenata. Gotovi smo jer je red od ''H'' puta broj H-grupa jednak broju elemenata od ''G'' pa samim time i to da red od ''H'' dijeli red od ''G''. Sada, ako su ''aH'' i ''bH'' dvije desne H-klase onda možemo definirati preslikavanje <math>f:aH\rightarrow{}bH</math> s <math>f(x) = ba^{-1}x</math>. Ovo preslikavanje je [[Bijekcija|bijekcija]] jer je inverz dan s <math>f^{-1}(y)=ab^{-1}y</math>. | ||
Trenutačna izmjena od 06:49, 23. ožujka 2022.
Lagrangeov teorem jedan je od temeljnih teorema teorije grupa i kaže da za svaku konačnu grupu G, red (broj elemenata) podgrupe H od G dijeli red od G. Teorem je dobio ime po Joseph-Louis Lagrangeu.
Dokaz Lagrangeovog teorema
Dokaz se može provesti koristeći koncept lijevih H-grupa u G. Lijeve H-grupe su klase ekvivalencije relacije ekvivalencije na G pa stoga particioniraju G. Posebno, x i y iz G su u relaciji ako i samo ako postoji h iz H takav da je x = yh. Ako pokažemo da sve H-grupe imaju jednak broj elemenata onda svaka H-grupa ima točno |H| elemenata. Gotovi smo jer je red od H puta broj H-grupa jednak broju elemenata od G pa samim time i to da red od H dijeli red od G. Sada, ako su aH i bH dvije desne H-klase onda možemo definirati preslikavanje [math]\displaystyle{ f:aH\rightarrow{}bH }[/math] s [math]\displaystyle{ f(x) = ba^{-1}x }[/math]. Ovo preslikavanje je bijekcija jer je inverz dan s [math]\displaystyle{ f^{-1}(y)=ab^{-1}y }[/math]. Ovaj dokaz pokazuje da je kvocijent redova [math]\displaystyle{ \frac{|G|}{|H|} }[/math] jednak indeksu [G : H] (broj lijevih H-grupa u G).