Divergencija polja

U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.

Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.

Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.

Definicija

Divergencija polja F u točki x je granična vrijednost toka polja kroz plohu S_i podijeljenog volumenom V_i kako se volumeni sažimaju prema samoj točki.

Divergencija vektorskog polja [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] u točki [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math], divergencija je

[math]\displaystyle{ \mathrm{div}\mathbf{F}|_\mathbf{x} \,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \lim_{V\rightarrow 0} \tfrac{1}{V}\int_{S(V)}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} }[/math].

Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math], a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.

Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je [math]\displaystyle{ \operatorname{div} \mathbf{F} \gt 0 }[/math] nazivaju se izvorima, a točke gdje je [math]\displaystyle{ \operatorname{div} \mathbf{F} \lt 0 }[/math] ponorima polja.

Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.

Gaussov teorem

Za divergenciju vektorskog polja [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,

[math]\displaystyle{ \int_V \operatorname{div} \mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \int_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} }[/math]

Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

Tok polja F kroz infinitezimalno malenu zatvorenu plohu unutar koje je točka (x₀,y₀,z₀).

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama [math]\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0) }[/math]. Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.

Tok polja [math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\hat{x}F_x+\hat{y}F_y+\hat{z}F_z }[/math] kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će

[math]\displaystyle{ \int_{S_{yz}}\mathbf{F}(x_0+\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\cdot \hat{x}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int_{S_{yz}} F_x (x_0+\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }[/math]

dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti

[math]\displaystyle{ \int_{S_{yz}}\mathbf{F}(x_0-\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\cdot (-\hat{x})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=-\int_{S_{yz}} F_x (x_0-\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }[/math].

Ovdje S_yz označava sljedeće granice integracije po osima y i z: [math]\displaystyle{ |y-y_0|\le\tfrac{1}{2}\Delta y }[/math], [math]\displaystyle{ |z-z_0|\le\tfrac{1}{2}\Delta z }[/math].

Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s

[math]\displaystyle{ \,\,\int\limits_{S_{yz}}\underbrace{\Bigl[F_x(x_0+\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)-F_x(x_0-\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\Bigr]}_{\frac{\partial F_x}{\partial x} \cdot \Delta x} dy\,dz }[/math].

U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand [math]\displaystyle{ \frac{\partial F_x}{\partial x}\Delta x }[/math] ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je

[math]\displaystyle{ \frac{\partial F_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z }[/math].

Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.

[math]\displaystyle{ \Phi_{\Delta V}(\mathbf{F})=\left(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\right) \cdot \Delta V. }[/math]

Prema definiciji, divergencija u točki [math]\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0) }[/math] bit će

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf{F}|_{(x_0,y_0,z_0)}=\frac{\partial F_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}+\frac{\partial F_y(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}+\frac{\partial F_z(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}. }[/math]

I općenito, u bilo kojoj točki [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z} }[/math]

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\left(\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (\hat{x}F_x + \hat{y}F_y + \hat{z}F_z)= \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}. }[/math]

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

• u cilindričnom koordinatnom sustavu:

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho F_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial F_z}{\partial z}; }[/math]

• u sfernom koordinatnom sustavu:

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2F_r)+\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} (F_{\vartheta} \sin \vartheta) + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}. }[/math]

Svojstva operatora divergencije

Za dana vektorska polja [math]\displaystyle{ \vec{u} }[/math] i [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math], skalar [math]\displaystyle{ U }[/math], skalarnu funkciju [math]\displaystyle{ f(U) }[/math] i vektor položaja [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math] vrijedi:

1. [math]\displaystyle{ \operatorname{div}(\vec{u} + \vec{v}) = \operatorname{div}\vec{u} + \operatorname{div}\vec{v} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \operatorname{div}(U \cdot \vec{v}) = U \cdot \operatorname{div}\vec{v}+\vec{v} \cdot \operatorname{grad}U }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \operatorname{div}[f(U) \cdot \vec{v}]=f(U)\cdot \operatorname{div}\vec{v} + \vec{v}\cdot f_U^{'}(U)\cdot \operatorname{grad} U }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \operatorname{div}\vec{r}=3. }[/math]

Primjer

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom

[math]\displaystyle{ \vec{E}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r} }[/math]

iznosi

[math]\displaystyle{ {\operatorname{div} \vec{E} = \operatorname{div} \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r} \right) \stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \cdot \operatorname{div}\vec{r} +\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\vec{r} \cdot \operatorname{grad} \frac{1}{r^3} \stackrel{(4.)}{=}\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}+\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0} \vec{r}\frac{(-1)}{r^5}\vec{r}=0} }[/math]

u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Tok vektorskog polja
• Gradijent skalarnog polja
• Rotacija vektorskog polja
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama