Binomni koeficijent

Binomni koeficijenti se mogu organizirati u obliku Pascalova trokuta

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao: 

[math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math]

i čita se n iznad ili povrh k. To je koeficijent člana [math]\displaystyle{ x^k }[/math] polinomne ekspanzije binomne potencije oblika [math]\displaystyle{ (1 + x)^n }[/math]. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:

[math]\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math]

Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije

Neka svojstva binomnih koeficijenata i dokazi

Svojstvo simetrije:

[math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} }[/math]

Kombinatorni dokaz.

Oznaka [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math] predstavlja broj [math]\displaystyle{ k }[/math]-članih podskupova [math]\displaystyle{ n }[/math]-članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, nikoja dva elementa nekog skupa nisu jednaka. Kako za svaki podskup od [math]\displaystyle{ k }[/math] elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih [math]\displaystyle{ n - k }[/math] elemenata slijedi da vrijedi bijekcija između ova dva skupa odnosno da su oni ekvipotentni ili jednakobrojni.

Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta ili tzv. Pascalovo pravilo:

[math]\displaystyle{ \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k} = \binom{n}{k} }[/math]

Kombinatorni dokaz.

Neka tražimo broj [math]\displaystyle{ k }[/math]-članih skupova od prvih [math]\displaystyle{ n }[/math] prirodnih brojeva ([math]\displaystyle{ \{1, 2, ..., n \} }[/math]).

Neka je [math]\displaystyle{ S }[/math] skup svih takvih [math]\displaystyle{ k }[/math]-članih podskupova [math]\displaystyle{ n }[/math]-članog skupa. Vrijedi [math]\displaystyle{ |S| = \binom{n}{k} }[/math].

Izaberimo neki element [math]\displaystyle{ x }[/math] iz [math]\displaystyle{ \{1, 2, ..., n \} }[/math]. Neka je [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] skup podskupova iz [math]\displaystyle{ S }[/math] koji sadrže [math]\displaystyle{ x }[/math]. Njih ima [math]\displaystyle{ |S_1| = \binom{n - 1}{k - 1} }[/math] jer preostalih [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] brojeva iz [math]\displaystyle{ \{1, 2, ..., n \} }[/math] (ne možemo opet birati [math]\displaystyle{ x }[/math] jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih [math]\displaystyle{ k - 1 }[/math] mjesto. Neka je pak s druge strane [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] skup podskupova iz [math]\displaystyle{ S }[/math] koji ne sadrže [math]\displaystyle{ x }[/math]. Ima ih [math]\displaystyle{ |S_2| = \binom{n - 1}{k} }[/math] jer sada raspoređujemo sve elemente iz [math]\displaystyle{ \{1, 2, ..., n\} }[/math] osim elementa [math]\displaystyle{ x }[/math], njih [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], na svih [math]\displaystyle{ k }[/math] mjesta jer na nijednom mjestu nije element [math]\displaystyle{ x. }[/math]

Očito je [math]\displaystyle{ |S_1| + |S_2| = |S| }[/math], čime je tvrdnja dokazana.

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi

Za proizvoljan realni broj [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] binomni koeficijent se definira formulama:

[math]\displaystyle{ \binom {\alpha}{0} = 1, \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1) \cdot \cdot \cdot (\alpha - k + 1)}{k!} }[/math]

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput [math]\displaystyle{ \binom{\frac{-1}{2}}{k} }[/math] ili, između ostalog, da se [math]\displaystyle{ (1 + x)^{\alpha} }[/math] razvije u red za [math]\displaystyle{ x \in (-1, 1) }[/math].

Izvori

Nedovršeni članak Binomni koeficijent koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.