More actions
Bot: Automatski unos stranica |
m bnz |
||
Redak 1: | Redak 1: | ||
U [[vektorska analiza|vektorskoj analizi]] '''divergencija''' je operator kojim se određuje jakost izvorā [[vektorsko polje|vektorskog polja]] po prostoru. | |||
Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje [[vektor]]. U [[Fizika|fizici]], primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, [[Skalarno polje|skalarna polja]] svakoj točki prostora pridružuju jedan [[skalar]] (broj), poput [[Temperatura|temperature]] ili lokalne [[Gustoća|gustoće]].<ref>{{Citiranje weba|url=http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node19.html|title=Skalarna i vektorska polja|archiveurl=http://web.archive.org/web/20181022160836/http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node19.html|archivedate=2018-10-22|author=Salih Suljagić|date=2000-03-11|work=|language=|publisher=|accessdate=2020-10-19}}</ref><ref name=":2">{{Citiranje weba|url=http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node2.html|title=Vektorska analiza|archiveurl=https://web.archive.org/web/20191228194953/http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node2.html|archivedate=2019-12-28|author=Ivan Slapničar|accessdate=2020-10-19}}</ref> | Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje [[vektor]]. U [[Fizika|fizici]], primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, [[Skalarno polje|skalarna polja]] svakoj točki prostora pridružuju jedan [[skalar]] (broj), poput [[Temperatura|temperature]] ili lokalne [[Gustoća|gustoće]].<ref>{{Citiranje weba|url=http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node19.html|title=Skalarna i vektorska polja|archiveurl=http://web.archive.org/web/20181022160836/http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node19.html|archivedate=2018-10-22|author=Salih Suljagić|date=2000-03-11|work=|language=|publisher=|accessdate=2020-10-19}}</ref><ref name=":2">{{Citiranje weba|url=http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node2.html|title=Vektorska analiza|archiveurl=https://web.archive.org/web/20191228194953/http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node2.html|archivedate=2019-12-28|author=Ivan Slapničar|accessdate=2020-10-19}}</ref> |
Posljednja izmjena od 13. travanj 2022. u 05:17
U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.
Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.[1][2]
Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.[3]
Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.
Definicija
Divergencija vektorskog polja u točki definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije , divergencija je[3][4]
- .
Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku , a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.
Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je nazivaju se izvorima, a točke gdje je ponorima polja.
Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.
Gaussov teorem
Za divergenciju vektorskog polja vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,[5]
Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.[5]
Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu
Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama .[3][6] Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.
Tok polja kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će
dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti
- .
Ovdje Syz označava sljedeće granice integracije po osima y i z: , .
Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s
- .
U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je
- .
Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.
Prema definiciji, divergencija u točki bit će
I općenito, u bilo kojoj točki
Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:
Divergencija u drugim koordinatnim sustavima
- u cilindričnom koordinatnom sustavu:
- u sfernom koordinatnom sustavu:
Svojstva operatora divergencije
Za dana vektorska polja i , skalar , skalarnu funkciju i vektor položaja vrijedi:[2]
Primjer
Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom
iznosi
u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.
Vezani pojmovi
Izvori
- ↑ Salih Suljagić (11. ožujak 2000.). "Skalarna i vektorska polja". Inačica izvorne stranice arhivirana 22. listopad 2018.. http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node19.html Pristupljeno 19. listopad 2020.
- ↑ 2,0 2,1 Ivan Slapničar. "Vektorska analiza". Inačica izvorne stranice arhivirana 28. prosinac 2019.. http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node2.html Pristupljeno 19. listopad 2020.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Eric W. Weisstein. "Divergence" (engl.). https://mathworld.wolfram.com/Divergence.html Pristupljeno 19. listopad 2020.
- ↑ Salih Suljagić (11. ožujak 2000.). "Plošni integrali". Inačica izvorne stranice arhivirana 22. listopad 2018.. http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node22.html Pristupljeno 19. listopad 2020.
- ↑ 5,0 5,1 Eric W. Weisstein. "Divergence Theorem" (engl.). https://mathworld.wolfram.com/DivergenceTheorem.html Pristupljeno 19. listopad 2020.
- ↑ The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 3: Vector Integral Calculus. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html Pristupljeno 19. listopad 2020.